Come calcolare le combinazioni e le probabilità a poker?

In matematica, la combinatoria, chiamata anche analisi combinatoria, studia le configurazioni di collezioni finite di oggetti o combinazioni di insiemi finiti, e il loro conteggio.

Anche se questo può sembrare complesso a prima vista, è molto più semplice di quanto appaia ed è particolarmente utile nell'analisi delle mani di poker. Per spiegare le basi della combinatoria, useremo una situazione molto semplice che potresti incontrare nei tornei di Texas Hold'em poker dal vivo.

Stiamo partecipando a un torneo 6-max in un ambiente perfetto:

• piscina
• musica
• carte...

Tutto è perfetto, inclusa la presenza nientemeno che di Davidi Kitai. Un giocatore talentuoso capace di tutto, specialmente di vincere le nostre chips con sconcertante facilità se si trova seduto accanto a noi.

Dopo più di 3 ore di gioco, siamo sulla buona strada con uno stack che supera i 35.000 chips mentre lo stack medio è di 21.000 chips. Il nostro tavolo si rompe dopo una difficile mano finale che ha danneggiato sia il nostro stack che la nostra fiducia.

Ci rimangono 18.325 chips e ci dirigiamo verso il nostro nuovo tavolo. Scopriamo un tavolo con solo 3 giocatori e quindi 3 posti liberi. Due altri giocatori arrivano per completare questo tavolo 6-max, e tra loro c'è Davidi!

Tutto ciò che possiamo fare ora è sperare di non sederci accanto a Davidi, il che sarebbe un vero bad beat...

La situazione iniziale

Ecco tutto ciò che sappiamo:

• Un tavolo 6-max con 3 giocatori già seduti
• I giocatori vengono posizionati casualmente
• Davidi e noi dobbiamo prendere posto al tavolo

Nel resto dell'articolo, studieremo la disposizione dei posti dei giocatori che completano il tavolo.

Nella teoria delle probabilità, questo è chiamato un esperimento aleatorio.
Un esperimento aleatorio è un esperimento osservabile il cui risultato non può essere previsto in anticipo, anche se l'esperimento viene ripetuto in condizioni identiche.

Qual è la probabilità di non sedersi accanto a Davidi?

Se sei pronto, il nostro obiettivo è determinare la probabilità di non sedersi accanto allo spietato Davidi.

Elencare tutte le combinazioni possibili

Per cominciare, determineremo tutte le combinazioni esistenti. Con 3 persone da posizionare in 3 posti, niente di più semplice! Basta elencarle tutte.

Otteniamo 6 combinazioni possibili per posizionare 3 persone in 3 posti. Elencandole, abbiamo appena enumerato tutte le combinazioni possibili.

Si possono contare combinazioni più specifiche:

• combinazioni dove siamo seduti accanto a Davidi
• combinazioni dove non siamo seduti accanto a Davidi

Delle 6 combinazioni:

• 2 volte, siamo seduti accanto a Davidi
• 4 volte, non siamo seduti accanto a Davidi

Quindi, ci troviamo accanto a Davidi 2 volte su 6, e 4 volte su 6 non ci saremo.

Nella teoria delle probabilità, parliamo di eventi.
Un evento è un insieme di risultati possibili di un esperimento aleatorio.
Nel nostro caso, "sedersi accanto a Davidi" è un evento e "non sedersi accanto a Davidi" è il suo evento complementare.

L'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento aleatorio è chiamato Universo ed è spesso indicato con (si legge Omega).

La probabilità dell'evento "sedersi accanto a Davidi" è che può essere semplificata a . delle volte, saremo seduti accanto a Davidi.

La probabilità dell'evento complementare "non sedersi accanto a Davidi" è ovvero . delle volte, non saremo seduti accanto a Davidi.

Notiamo che la probabilità di "sedersi accanto a Davidi" () più "non sedersi accanto a Davidi" () è uguale a . delle volte, saremo seduti al tavolo (accanto a Davidi o meno).

Alcune notazioni matematiche per semplificare il lavoro

Per facilitare l'analisi successiva, introdurrò nuovi concetti matematici: la notazione della probabilità, dell'unione e dell'intersezione.

Nel resto dell'articolo, chiameremo gli eventi:

• : "sedersi accanto a Davidi"
• : "Non sedersi accanto a Davidi"
• : "essere Seduto al tavolo"

La probabilità di un evento è indicata con.

L'unione di due eventi è indicata con:

• "sedersi accanto a Davidi" O "non sedersi accanto a Davidi"

Qui possiamo vedere che l'unione di questi due eventi corrisponde all'insieme di tutti i risultati possibili di questo esperimento.

I due eventi non hanno elementi in comune e tutti i risultati possibili sono coperti, questo è chiamato una partizione.

Ecco 2 nuovi eventi:

• : "Davidi si siede in uno dei due posti a Destra del tavolo"
• : "Hero si siede in uno dei due posti a Destra del tavolo"

L'intersezione di due eventi è indicata con:

• "Davidi si siede in uno dei due posti a destra del tavolo" E (contemporaneamente) "Hero si siede in uno dei due posti a destra del tavolo"

Anche qui possiamo vedere che l'unione di questi due eventi corrisponde all'insieme di tutti i risultati possibili di questo esperimento.
Tuttavia, i due eventi hanno elementi in comune, che chiamiamo l'intersezione di questi due eventi.
Ci sono due combinazioni dove Hero e Davidi sono entrambi posizionati sul lato destro del tavolo.

La probabilità di "Davidi si siede in uno dei due posti a Destra del tavolo" è
La probabilità di "Hero si siede in uno dei due posti a Destra del tavolo" è
La probabilità dell'intersezione è
La probabilità di "essere seduto al tavolo" è

Per definizione, gli elementi presenti nell'intersezione () si trovano sia nell'evento che nell'evento .
e includono ciascuno la probabilità dovuta agli elementi dell'intersezione .
Quindi, la somma della probabilità di questi due eventi contiene due volte la probabilità dovuta agli elementi dell'intersezione.

Possiamo anche notare che l'unione dei due eventi e copre l'intero Universo ().
Possiamo scrivere:

Un evento con probabilità 1 è chiamato un evento certo.
L'unione di un evento e del suo evento complementare dà un evento certo.
Un evento e il suo evento complementare non hanno elementi in comune e quindi un'intersezione vuota; si dicono disgiunti.

In generale, per 3 eventi A, B e C, se:

Allora:

Torniamo alla nostra domanda di base: Qual è la probabilità di non sedersi accanto a Davidi?

• dove D: "sedersi accanto a Davidi"
• dove ND: "Non sedersi accanto a Davidi"
• dove A: "essere Seduto al tavolo"

Trovare gli stessi risultati matematicamente

I nostri tre eventi sono collegati tra loro. Abbiamo:

Saremo sicuramente seduti al tavolo alla fine dell'esperimento aleatorio.
è un evento certo, quindi

Determinare la cardinalità dell'Universo del nostro esperimento aleatorio

La cardinalità di un insieme è il numero di elementi contenuti in quell'insieme.
Se , allora
è composto dagli elementi , per un totale di 5 elementi.

Nel nostro esempio, gli elementi del nostro Universo sono triplette della forma (Giocatore nel posto 1, nel posto 2, nel posto 3).
Ad esempio: (Hero, Villain, Davidi) significa:

• Hero nel posto 1
• Villain nel posto 2
• Davidi nel posto 3

Dobbiamo determinare il numero totale di combinazioni possibili quando si posizionano 3 persone in 3 posti.

Il primo passo è posizionare uno dei tre giocatori in un primo posto.
Ogni giocatore corrisponde a una possibilità, il che ci dà 3 posizionamenti diversi.

Il secondo passo è posizionare uno dei due giocatori rimanenti nel secondo posto.
Per ciascuna delle 3 possibilità, ci sono due nuove possibilità.
Questo ci dà un totale di 3 x 2 posizionamenti diversi a questo punto.

Il passo finale è posizionare il giocatore rimanente nell'ultimo posto.
Resta solo una possibilità.
Questo fa un totale di 3 x 2 x 1 = 6 posizionamenti diversi.

Abbiamo quindi 6 posizionamenti diversi dove 3 giocatori sono posizionati in 3 posti, che equivale a dire: la cardinalità dell'Universo del nostro esperimento aleatorio è 6.

Determinare la cardinalità di D

Possiamo facilmente determinare le combinazioni dove siamo seduti accanto a Davidi senza enumerare tutti i casi possibili.
Al contrario, è complicato calcolare il numero di combinazioni dove non siamo accanto a Davidi.

Per questa ragione, puntiamo a calcolare la probabilità di essere accanto a Davidi, e semplicemente sottrarremo questa probabilità da 1 per ottenere la probabilità di non essere accanto a Davidi.

Il tavolo di partenza

Iniziamo separando le 3 persone da posizionare in due gruppi:

• Noi e Davidi
• L'altro Villain

Posizionare Villain

Possiamo posizionare Villain nel posto di sinistra. La persona in questo posto sarà inevitabilmente isolata dagli altri due giocatori da posizionare. Quindi, non possiamo posizionare né Davidi né noi stessi lì.

Calcolare i posizionamenti rimanenti

Una volta posizionato Villain, restano solo due posti adiacenti e Davidi e noi stessi da posizionare. Poiché l'ordine di posizionamento conta, siamo nello stesso caso di prima e troviamo: 2 x 1 = 2 posizionamenti possibili
L'evento D corrisponde a due combinazioni, in altre parole

Determinare la probabilità di D

L'evento D corrisponde a 2 combinazioni delle 6 combinazioni che compongono l'Universo.
L'evento D si verificherà 2 volte su 6, che corrisponde a una probabilità di .

dove e

Determinare la probabilità di ND

Ora che conosciamo la probabilità di , possiamo facilmente trovare la probabilità di .

Conclusione

La probabilità dell'evento "Non sedersi accanto a Davidi" è del 66,66%.
2 volte su 3, non saremo seduti accanto a Davidi.

Riepilogo

• Il concetto di probabilità appare durante un esperimento aleatorio.
• Un evento è un insieme di risultati possibili.
• La cardinalità di un evento è il numero di risultati che lo compongono.
  Indicata come:
• La probabilità di un evento è la frequenza con cui l'evento si verificherà.
  Indicata come:
• Un evento è certo quando siamo sicuri che si verificherà, ovvero ha una probabilità di 1 (o 100%).
• L'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento aleatorio è chiamato l'Universo.
• L'unione di un evento e del suo complementare () è equivalente all'Universo.

Vorrei una coppia di 10 o meglio...

Cercheremo di determinare la probabilità di ricevere una coppia di 10 o meglio in una mano di poker online, che è una buona mano iniziale e potrebbe potenzialmente portare a un tris al flop come combinazione.

Ecco tutte le informazioni che abbiamo:

• un mazzo è composto da 52 carte
• riceviamo 2 carte dal mazzo
• le carte vengono distribuite casualmente

Un po' di formalismo:

• evento TT: ricevere una coppia di 10
• evento TT+: ricevere una coppia di 10 o meglio (ovvero: coppia di 10, Jack, Donne, Re o Assi)

Primo passo: pescare due carte dal mazzo di 52 carte

Per cominciare, dobbiamo calcolare il numero di combinazioni corrispondenti al pescaggio di 2 carte dalle 52 carte del mazzo.
Per pescare due carte, dobbiamo prima pescare una carta e poi una seconda.
Questo potrebbe sembrare ovvio, ma preferisco specificarlo comunque.

Pescare una carta da un mazzo di 52 carte

Un possibile pescaggio sarebbe l'Asso di cuori, un altro pescaggio il 2 di cuori... e così via per tutte le 52 carte del mazzo.
Possiamo chiaramente vedere che una carta corrisponde a un possibile pescaggio. Quando si pesca una sola carta da 52 carte, il numero di pescaggi possibili è 52.

Pescare una carta da un mazzo di 51 carte

Quando peschiamo la prima carta, non la rimettiamo nel mazzo.
Quando peschiamo la seconda carta, restano solo 51 carte nel mazzo. Quindi abbiamo 51 pescaggi possibili.

Pescare due carte da un mazzo di 52 carte

Abbiamo 52 pescaggi corrispondenti al pescaggio di una prima carta, poi per ciascuno di questi pescaggi, abbiamo 51 altri pescaggi possibili.
Questo significa che ci sono 52 volte 51 pescaggi possibili di due carte in un mazzo di 52 carte. Ovvero .

Disposizioni e combinazioni

Durante i nostri diversi passaggi, è presente una nozione di ordine.
Pescare un Asso di cuori poi un Re di cuori è diverso dal pescare un Re di cuori poi un Asso di cuori, eppure è la stessa mano.

Il concetto di disposizioni

Quando si scelgono k elementi da n e la nozione di ordine è importante, si ottiene una k-tupla (una lista ordinata di k elementi). Questa k-tupla è una k-disposizione.
Si scrive (si legge "A" "n" "k"): il numero di k-disposizioni da n.

Con il nostro Asso di cuori e Re di cuori, abbiamo 2 disposizioni per la stessa mano.

Il concetto di combinazione

Quando si scelgono k elementi da n e la nozione di ordine non conta, si ottiene un insieme di k elementi. Questo insieme di k elementi è una k-combinazione.
Si scrive (si legge "C" "n" "k") o (si legge "k" da "n"): il numero di k-combinazioni da n.

Una mano come Asso di cuori e Re di cuori è una 2-combinazione.

Secondo passo: combinazioni di due carte da 52

Il caso del No Limit Hold'em

Abbiamo pescaggi possibili di 2 carte da 52.
Pescando una prima carta, poi una seconda carta, introduciamo una nozione di ordine.
In realtà, quelli che chiamiamo "pescaggi possibili" sono 2-disposizioni. Ovvero, disposizioni composte da due elementi.

Abbiamo 2652 2-disposizioni di 2 carte da 52 carte.

Una 2-combinazione (la mano Asso di cuori e Re di cuori) corrisponde a due 2-disposizioni (Asso di cuori / Re di cuori e Re di cuori / Asso di cuori).
Per ottenere il numero di 2-combinazioni, dobbiamo dividere il numero di 2-disposizioni per 2.

Otteniamo 1326 diverse combinazioni di mani nel NLHE.

Il caso del Pot Limit Omaha

Nel PLO, non riceviamo 2 ma 4 carte da 52 carte!
L'obiettivo è determinare il numero di diverse combinazioni di mani nel PLO.

Questo equivale a chiedersi: quando si pescano 4 carte da un mazzo di poker da 52 carte, quante combinazioni esistono?

Primo passo: trovare il numero di disposizioni

Ci sono 6.497.400 disposizioni possibili di 4 carte da 52.

Secondo passo: gestire la nozione di ordine

Abbiamo 24 modi diversi di ordinare 4 elementi. Una combinazione corrisponde a 24 disposizioni.

Terzo passo: trovare il numero di combinazioni


Otteniamo 49.700 diverse combinazioni di mani nel PLO.

Un po' di matematica

Il concetto di fattoriale

In matematica, il fattoriale di un numero naturale k è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a k. (wikipedia.org)
Si scrive: (si legge "k fattoriale")






Nota:

Proviamo a scrivere le nostre disposizioni usando i fattoriali:

Abbiamo

Proviamo a scrivere le nostre combinazioni usando i fattoriali:

Abbiamo

Grazie a queste formule, se vogliamo trovare il numero di possibili combinazioni di mani nel NLHE, basta calcolare .
Otteniamo lo stesso risultato di prima in pochi calcoli.
Meno male, siamo tornati in piedi!



Puoi spiegarmi perché tutto questo è importante?...

Terzo passo: ricevere una coppia di 10

Vogliamo sapere la probabilità di ricevere una coppia di 10.
Cerchiamo dove .
L'Universo corrisponde a tutte le possibili mani NLHE, ovvero 1326 mani diverse. Quindi la cardinalità del nostro Universo è 1326.

Abbiamo dove

Per ottenere , dobbiamo trovare il numero di combinazioni possibili per formare una coppia di 10.
In un mazzo, ci sono quattro 10. Una coppia di 10 significa avere 2 carte da queste 4, ovvero il numero di combinazioni di 2 carte da 4.

Quindi ci sono 6 mani che possono formare una coppia di 10.
Quindi abbiamo
La probabilità di ottenere una coppia di 10 è dello 0,45%.

Quarto passo: ricevere una coppia di 10 o meglio

Ricevere una coppia di 10 o meglio significa colpire una di queste cinque coppie:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Abbiamo visto che una coppia di 10 corrisponde a 6 mani perché ci sono 4 carte da dieci nel mazzo. Poiché tutte le coppie sono composte allo stesso modo (2 carte da 4), ogni coppia corrisponde a 6 mani.
Nel nostro caso, abbiamo:

Ottenere una coppia di 10 o meglio corrisponde a 30 mani.

30 combo non mi dice molto...
Nessun problema, convertiamolo in percentuale!

La probabilità di ottenere una coppia di 10 o meglio è del 2,26%.

Ed ecco fatto, in pochi passaggi abbiamo risposto alla domanda originale!

Riepilogo

• Quando vogliamo pescare k elementi da n elementi con ordine nel pescaggio, otteniamo una k-disposizione che è una lista ordinata di k elementi da n.
• Si scrive , il numero di k-disposizioni di k elementi da n.
• Quando vogliamo pescare k elementi da n elementi senza ordine nel pescaggio, otteniamo una k-combinazione che è una lista non ordinata di k elementi da n.
• Si scrive , il numero di k-combinazioni di k elementi da n.