Jak obliczyć kombinacje i prawdopodobieństwo w pokerze?

W matematyce kombinatoryka, zwana również analizą kombinatoryczną, bada konfiguracje skończonych zbiorów obiektów lub kombinacje zbiorów skończonych i ich zliczanie.

Choć na pierwszy rzut oka może to brzmieć skomplikowanie, jest to o wiele prostsze, niż się wydaje, i jest szczególnie przydatne w analizie rąk pokerowych. Aby wyjaśnić podstawy kombinatoryki, użyjemy bardzo prostej sytuacji, którą możesz napotkać w turniejach Texas Hold'em na żywo.

Uczestniczymy w turnieju 6-max w idealnej scenerii:

• basen
• muzyka
• karty...

Wszystko jest idealne, w tym obecność nikogo innego jak Davidi Kitai. Utalentowany gracz zdolny do wszystkiego, zwłaszcza do wygrania naszych żetonów z dezorientującą łatwością, jeśli akurat usiadzie obok nas.

Po ponad 3 godzinach gry jesteśmy na dobrej drodze ze stackiem przekraczającym 35 000 żetonów, podczas gdy średni stack wynosi 21 000 żetonów. Nasz stół się rozpada po trudnej ostatniej ręce, która uszkodziła zarówno nasz stack, jak i naszą pewność siebie.

Pozostało nam 18 325 żetonów i kierujemy się do naszego nowego stołu. Odkrywamy stół z tylko 3 graczami i zatem 3 wolnymi miejscami. Dwóch innych graczy przybywa, aby wypełnić ten stół 6-max, a wśród nich jest Davidi!

Jedyne, co możemy teraz zrobić, to mieć nadzieję, że nie usiadziemy obok Davidi, co byłoby prawdziwym bad beatem...

Sytuacja początkowa

Oto wszystko, co wiemy:

• Stół 6-max z 3 graczami już siedzącymi
• Gracze są rozsadzani losowo
• Davidi i my musimy zająć swoje miejsca przy stole

W dalszej części artykułu będziemy badać rozmieszczenie graczy uzupełniających stół.

W rachunku prawdopodobieństwa nazywa się to doświadczeniem losowym.
Doświadczenie losowe to obserwowalne doświadczenie, w którym wyniku nie można przewidzieć z góry, nawet jeśli doświadczenie jest powtarzane w identycznych warunkach.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie usiądziesz obok Davidi?

Jeśli jesteś gotowy, naszym celem jest określenie prawdopodobieństwa, że nie usiądziesz obok bezlitosnego Davidi.

Wylistowanie wszystkich możliwych kombinacji

Na początek określimy wszystkie istniejące kombinacje. Z 3 osobami do rozmieszczenia na 3 miejscach, nic prostszego! Wystarczy je wszystkie wylistować.

Otrzymujemy 6 możliwych kombinacji dla rozmieszczenia 3 osób na 3 miejscach. Wylistowując je, właśnie wyliczyliśmy wszystkie możliwe kombinacje.

Można policzyć bardziej szczegółowe kombinacje:

• kombinacje, w których siedzimy obok Davidi
• kombinacje, w których nie siedzimy obok Davidi

Spośród 6 kombinacji:

• 2 razy siedzimy obok Davidi
• 4 razy nie siedzimy obok Davidi

Zatem trafiamy obok Davidi 2 razy na 6, a 4 razy na 6 nie trafimy.

W rachunku prawdopodobieństwa mówimy o zdarzeniach.
Zdarzenie to zbiór możliwych wyników doświadczenia losowego.
W naszym przypadku "siedzenie obok Davidi" jest zdarzeniem, a "niesiedzenie obok Davidi" jest jego zdarzeniem przeciwnym.

Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywa się Przestrzenią zdarzeń elementarnych i jest często oznaczany (czytane jako Omega).

Prawdopodobieństwo zdarzenia "siedzenie obok Davidi" wynosi , co można uprościć do . czasu będziemy siedzieć obok Davidi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego "niesiedzenie obok Davidi" wynosi czyli . czasu nie będziemy siedzieć obok Davidi.

Zauważamy, że prawdopodobieństwo "siedzenia obok Davidi" () plus "niesiedzenia obok Davidi" () równa się . czasu będziemy siedzieć przy stole (obok Davidi lub nie).

Kilka notacji matematycznych dla ułatwienia pracy

Aby ułatwić dalszą analizę, wprowadzę nowe pojęcia matematyczne: notacje prawdopodobieństwa, sumy i iloczynu.

W dalszej części artykułu nazwiemy zdarzenia:

• : "siedzenie obok Davidi"
• : "Niesiedzenie obok Davidi"
• : "Siedzenie przy stole"

Prawdopodobieństwo zdarzenia zapisujemy.

Sumę dwóch zdarzeń zapisujemy:

• "siedzenie obok Davidi" LUB "niesiedzenie obok Davidi"

Tutaj widzimy, że suma tych dwóch zdarzeń odpowiada zbiorowi wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia.

Dwa zdarzenia nie mają wspólnych elementów i wszystkie możliwe wyniki są pokryte, nazywa się to rozkładem.

Oto 2 nowe zdarzenia:

• : "Davidi siada na jednym z dwóch Prawych miejsc przy stole"
• : "Hero siada na jednym z dwóch Prawych miejsc przy stole"

Iloczyn dwóch zdarzeń zapisujemy:

• "Davidi siada na jednym z dwóch prawych miejsc przy stole" ORAZ (jednocześnie) "Hero siada na jednym z dwóch prawych miejsc przy stole"

Tutaj również widzimy, że suma tych dwóch zdarzeń odpowiada zbiorowi wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia.
Jednak dwa zdarzenia mają wspólne elementy, które nazywamy iloczynem tych dwóch zdarzeń.
Istnieją dwie kombinacje, w których Hero i Davidi są obaj po prawej stronie stołu.

Prawdopodobieństwo "Davidi siada na jednym z dwóch Prawych miejsc przy stole" wynosi
Prawdopodobieństwo "Hero siada na jednym z dwóch Prawych miejsc przy stole" wynosi
Prawdopodobieństwo iloczynu wynosi
Prawdopodobieństwo "siedzenia przy stole" wynosi

Z definicji, elementy obecne w iloczynie () znajdują się zarówno w zdarzeniu , jak i w zdarzeniu .
i każde zawierają prawdopodobieństwo wynikające z elementów iloczynu .
Zatem suma prawdopodobieństwa tych dwóch zdarzeń zawiera dwukrotnie prawdopodobieństwo wynikające z elementów iloczynu.

Możemy również zauważyć, że suma dwóch zdarzeń i pokrywa całą Przestrzeń ().
Możemy zapisać:

Zdarzenie o prawdopodobieństwie 1 nazywa się zdarzeniem pewnym.
Suma zdarzenia i jego zdarzenia przeciwnego daje zdarzenie pewne.
Zdarzenie i jego zdarzenie przeciwnenie mają wspólnych elementów i zatem mają pusty iloczyn; mówi się, że są rozłączne.

Ogólnie, dla 3 zdarzeń A, B i C, jeśli:

To:

Wróćmy do naszego podstawowego pytania: Jakie jest prawdopodobieństwo niesiedzenia obok Davidi?

• gdzie D: "siedzenie obok Davidi"
• gdzie ND: "Niesiedzenie obok Davidi"
• gdzie A: "Siedzenie przy stole"

Znajdowanie tych samych wyników matematycznie

Nasze trzy zdarzenia są ze sobą powiązane. Mamy:

Na pewno usiadziemy przy stole na koniec doświadczenia losowego.
jest zdarzeniem pewnym, więc

Określanie liczności Przestrzeni naszego doświadczenia losowego

Liczność zbioru to liczba elementów zawartych w tym zbiorze.
Jeśli , to
składa się z elementów , w sumie 5 elementów.

W naszym przykładzie elementy naszej Przestrzeni to trójki postaci (Gracz na miejscu 1, na miejscu 2, na miejscu 3).
Na przykład: (Hero, Villain, Davidi) oznacza:

• Hero na miejscu 1
• Villain na miejscu 2
• Davidi na miejscu 3

Musimy określić całkowitą liczbę możliwych kombinacji rozmieszczenia 3 osób na 3 miejscach.

Pierwszy krok to umieszczenie jednego z trzech graczy na pierwszym miejscu.
Każdy gracz odpowiada jednej możliwości, co daje nam 3 różne rozmieszczenia.

Drugi krok to umieszczenie jednego z dwóch pozostałych graczy na drugim miejscu.
Dla każdej z 3 możliwości istnieją dwie nowe możliwości.
Daje to w sumie 3 x 2 różnych rozmieszczenia na tym etapie.

Ostatni krok to umieszczenie pozostałego gracza na ostatnim miejscu.
Pozostaje tylko jedna możliwość.
Daje to w sumie 3 x 2 x 1 = 6 różnych rozmieszczenia.

Mamy zatem 6 różnych rozmieszczenia, w których 3 graczy jest rozmieszczonych na 3 miejscach, co jest równoważne powiedzeniu: liczność Przestrzeni naszego doświadczenia losowego wynosi 6.

Określanie liczności D

Możemy łatwo określić kombinacje, w których siedzimy obok Davidi, bez wyliczania wszystkich możliwych przypadków.
Natomiast skomplikowane jest obliczenie liczby kombinacji, w których nie siedzimy obok Davidi.

Z tego powodu będziemy obliczać prawdopodobieństwo siedzenia obok Davidi, a następnie po prostu odejmiemy to prawdopodobieństwo od 1, aby uzyskać prawdopodobieństwo niesiedzenia obok Davidi.

Stół wyjściowy

Zaczynamy od rozdzielenia 3 osób do rozmieszczenia na dwie grupy:

• My i Davidi
• Inny Villain

Rozmieszczenie Villaina

Możemy umieścić Villaina na lewym miejscu. Osoba na tym miejscu będzie nieuchronnie odizolowana od dwóch pozostałych graczy do rozmieszczenia. Dlatego nie możemy tam umieścić ani Davidi, ani siebie.

Obliczanie pozostałych rozmieszczenia

Gdy Villain jest rozmieszczony, pozostają tylko dwa sąsiednie miejsca i Davidi oraz my do rozmieszczenia. Ponieważ kolejność rozmieszczenia ma znaczenie, jesteśmy w tym samym przypadku co wcześniej i znajdujemy: 2 x 1 = 2 możliwe rozmieszczenia
Zdarzenie D odpowiada dwóm kombinacjom, innymi słowy

Określanie prawdopodobieństwa D

Zdarzenie D odpowiada 2 kombinacjom spośród 6 kombinacji tworzących Przestrzeń.
Zdarzenie D wystąpi 2 razy na 6, co odpowiada prawdopodobieństwu .

gdzie i

Określanie prawdopodobieństwa ND

Teraz, gdy znamy prawdopodobieństwo , możemy łatwo znaleźć prawdopodobieństwo .

Podsumowanie

Prawdopodobieństwo zdarzenia "Niesiedzenie obok Davidi" wynosi 66,66%.
2 razy na 3 nie będziemy siedzieć obok Davidi.

Streszczenie

• Pojęcie prawdopodobieństwa pojawia się podczas doświadczenia losowego.
• Zdarzenie to zbiór możliwych wyników.
• Liczność zdarzenia to liczba wyników, które je tworzą.
  Zapisywane jako:
• Prawdopodobieństwo zdarzenia to częstotliwość, z jaką zdarzenie wystąpi.
  Zapisywane jako:
• Zdarzenie jest pewne, gdy jesteśmy pewni, że wystąpi, co oznacza, że ma prawdopodobieństwo 1 (czyli 100%).
• Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywa się Przestrzenią.
• Suma zdarzenia i jego dopełnienia () jest równoważna Przestrzeni.

Chciałbym parę dziesiątek lub lepszą...

Spróbujemy określić prawdopodobieństwo otrzymania pary dziesiątek lub lepszej w ręce pokera online, co jest dobrą ręką startową i może potencjalnie prowadzić do seta na flopie jako kombinacji.

Oto wszystkie informacje, które mamy:

• talia składa się z 52 kart
• otrzymujemy 2 karty z talii
• karty są rozdawane losowo

Trochę formalizmu:

• zdarzenie TT: otrzymanie pary dziesiątek
• zdarzenie TT+: otrzymanie pary dziesiątek lub lepszej (tj.: para dziesiątek, waletów, dam, króli lub asów)

Pierwszy krok: wylosowanie dwóch kart z talii 52 kart

Na początek musimy obliczyć liczbę kombinacji odpowiadających wylosowaniu 2 kart z 52 kart w talii.
Aby wylosować dwie karty, musimy najpierw wylosować jedną kartę, a następnie drugą.
Może to się wydawać oczywiste, ale wolę to sprecyzować.

Losowanie jednej karty z talii 52 kart

Jednym możliwym losowaniem byłoby wyciągnięcie Asa kier, innym losowaniem wyciągnięcie 2 kier... i tak dalej dla wszystkich 52 kart w talii.
Wyraźnie widać, że jedna karta odpowiada jednemu możliwemu losowaniu. Przy losowaniu tylko jednej karty z 52 kart, liczba możliwych losowań wynosi 52.

Losowanie jednej karty z talii 51 kart

Kiedy losujemy pierwszą kartę, nie wkładamy jej z powrotem do talii.
Przy losowaniu drugiej karty w talii pozostaje tylko 51 kart. Mamy więc 51 możliwych losowań.

Losowanie dwóch kart z talii 52 kart

Mamy 52 losowania odpowiadające wylosowaniu pierwszej karty, a następnie dla każdego z tych losowań mamy 51 innych możliwych losowań.
Oznacza to, że istnieje 52 razy 51 możliwych losowań dwóch kart z talii 52 kart. To .

Wariacje i kombinacje

Podczas naszych różnych kroków obecne jest pojęcie kolejności.
Wylosowanie Asa kier, a następnie Króla kier różni się od wylosowania Króla kier, a następnie Asa kier, a jednak to ta sama ręka.

Pojęcie wariacji

Wybierając k elementów z n i kolejność jest ważna, otrzymujemy k-kę (uporządkowaną listę k elementów). Ta k-ka to k-wariacja.
Zapisujemy (czytane jako "A" "n" "k"): liczbę k-wariacji z n.

Z naszym Asem kier i Królem kier mamy 2 wariacje dla tej samej ręki.

Pojęcie kombinacji

Wybierając k elementów z n i kolejność nie ma znaczenia, otrzymujemy zbiór k elementów. Ten zbiór k elementów to k-kombinacja.
Zapisujemy (czytane jako "C" "n" "k") lub (czytane jako "k" z "n"): liczbę k-kombinacji z n.

Ręka taka jak As kier i Król kier to 2-kombinacja.

Drugi krok: kombinacje dwóch kart z 52

Przypadek No Limit Hold'em

Mamy możliwych losowań 2 kart z 52.
Losując pierwszą kartę, a następnie drugą, wprowadzamy pojęcie kolejności.
W rzeczywistości to, co nazywamy "możliwymi losowaniami", to 2-wariacje. Czyli wariacje złożone z dwóch elementów.

Mamy 2652 2-wariacje 2 kart z 52 kart.

Jedna 2-kombinacja (ręka As kier i Król kier) odpowiada dwóm 2-wariacjom (As kier / Król kier i Król kier / As kier).
Aby uzyskać liczbę 2-kombinacji, musimy podzielić liczbę 2-wariacji przez 2.

Otrzymujemy 1326 różnych kombinacji rąk w NLHE.

Przypadek Pot Limit Omaha

W PLO nie otrzymujemy 2, lecz 4 karty z 52 kart!
Celem jest określenie liczby różnych kombinacji rąk w PLO.

Sprowadza się to do pytania: ile kombinacji istnieje przy losowaniu 4 kart z talii 52 kart?

Pierwszy krok: znalezienie liczby wariacji

Istnieje 6 497 400 możliwych wariacji 4 kart z 52.

Drugi krok: obsługa pojęcia kolejności

Mamy 24 różne sposoby uporządkowania 4 elementów. Jedna kombinacja odpowiada 24 wariacjom.

Trzeci krok: znalezienie liczby kombinacji


Otrzymujemy 49 700 różnych kombinacji rąk w PLO.

Trochę matematyki

Pojęcie silni

W matematyce silnia liczby naturalnej k to iloczyn wszystkich liczb całkowitych dodatnich mniejszych lub równych k. (wikipedia.org)
Zapisujemy ją jako: (czytane jako "k silnia")






Uwaga:

Spróbujmy zapisać nasze wariacje za pomocą silni:

Mamy

Spróbujmy zapisać nasze kombinacje za pomocą silni:

Mamy

Dzięki tym wzorom, jeśli chcemy znaleźć liczbę możliwych kombinacji rąk w NLHE, wystarczy obliczyć .

Otrzymujemy ten sam wynik co wcześniej w zaledwie kilku obliczeniach.
Uff, wylądowaliśmy na nogach!



Czy możesz wyjaśnić, dlaczego to wszystko ma znaczenie?...

Trzeci krok: otrzymanie pary dziesiątek

Chcemy poznać prawdopodobieństwo otrzymania pary dziesiątek.
Szukamy gdzie .
Przestrzeń odpowiada wszystkim możliwym rękom NLHE, czyli 1326 różnym rękom. Zatem liczność naszej Przestrzeni wynosi 1326.

Mamy gdzie

Aby uzyskać , musimy znaleźć liczbę możliwych kombinacji do utworzenia pary dziesiątek.
W talii są cztery dziesiątki. Para dziesiątek oznacza posiadanie 2 kart z tych 4, czyli liczbę kombinacji 2 kart z 4.

Istnieje zatem 6 rąk, które mogą utworzyć parę dziesiątek.
Więc mamy
Prawdopodobieństwo otrzymania pary dziesiątek wynosi 0,45%.

Czwarty krok: otrzymanie pary dziesiątek lub lepszej

Otrzymanie pary dziesiątek lub lepszej oznacza trafienie jednej z pięciu par:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Widzieliśmy, że para dziesiątek odpowiada 6 rękom, ponieważ w talii są 4 dziesiątki. Ponieważ wszystkie pary są zbudowane w ten sam sposób (2 karty z 4), każda para odpowiada 6 rękom.
W naszym przypadku mamy:

Otrzymanie pary dziesiątek lub lepszej odpowiada 30 rękom.

30 combo nic mi nie mówi...
Nie ma problemu, zamieńmy to na procent!

Prawdopodobieństwo otrzymania pary dziesiątek lub lepszej wynosi 2,26%.

I oto mamy, w zaledwie kilku krokach odpowiedzieliśmy na pierwotne pytanie!

Streszczenie

• Kiedy chcemy wylosować k elementów z n elementów z kolejnością losowania, otrzymujemy k-wariacje, czyli uporządkowaną listę k elementów z n.
• Zapisujemy , liczbę k-wariacji k elementów z n.
• Kiedy chcemy wylosować k elementów z n elementów bez kolejności losowania, otrzymujemy k-kombinacje, czyli nieuporządkowaną listę k elementów z n.
• Zapisujemy , liczbę k-kombinacji k elementów z n.