Hoe Bereken je Combinaties en Kansen in Poker?

In de wiskunde bestudeert de combinatoriek, ook wel combinatorische analyse genoemd, de configuraties van eindige verzamelingen objecten of combinaties van eindige verzamelingen, en het tellen ervan.

Hoewel dit op het eerste gezicht complex kan klinken, is het veel eenvoudiger dan het lijkt en is het bijzonder nuttig bij de analyse van pokerhanden. Om de basis van de combinatoriek uit te leggen, gebruiken we een zeer eenvoudige situatie die je zou kunnen tegenkomen in live Texas Hold'em pokertoernooien.

We nemen deel aan een 6-max toernooi in een perfect scenario:

• zwembad
• muziek
• kaarten...

Alles is perfect, inclusief de aanwezigheid van niemand minder dan Davidi Kitai. Een getalenteerde speler die tot alles in staat is, vooral om onze fiches met een onthutsend gemak te winnen als hij naast ons komt te zitten.

Na meer dan 3 uur spelen liggen we op koers met een stack van meer dan 35.000 fiches terwijl de gemiddelde stack 21.000 fiches is. Onze tafel wordt opgebroken na een lastige laatste hand die zowel onze stack als ons vertrouwen heeft beschadigd.

We hebben 18.325 fiches over en gaan naar onze nieuwe tafel. We ontdekken een tafel met slechts 3 spelers en dus 3 lege stoelen. Twee andere spelers komen om deze 6-max tafel te completeren, en onder hen is Davidi.

Het enige wat we nu kunnen doen is hopen dat we niet naast Davidi komen te zitten, wat een echte bad beat zou zijn...

De beginsituatie

Dit is alles wat we weten:

• Een 6-max tafel met 3 spelers die al zitten
• De spelers gaan willekeurig zitten
• Davidi en wij moeten onze plaatsen aan tafel innemen

In de rest van het artikel bestuderen we de opstelling van de spelers die de tafel completeren.

In de kansrekening noemen we dit een toevallig experiment.
Een toevallig experiment is een waarneembaar experiment waarvan de uitkomst niet van tevoren voorspeld kan worden, zelfs als het experiment onder identieke omstandigheden wordt herhaald.

Wat is de kans om niet naast Davidi te zitten?

Als je er klaar voor bent, is ons doel om de kans te bepalen om niet naast de meedogenloze Davidi te zitten.

Opsomming van alle mogelijke combinaties

Om te beginnen bepalen we alle bestaande combinaties. Met 3 personen om op 3 stoelen te plaatsen, niets eenvoudiger! We hoeven ze alleen maar allemaal op te sommen.

We krijgen 6 mogelijke combinaties om 3 personen op 3 stoelen te plaatsen. Door ze op te sommen, hebben we zojuist alle mogelijke combinaties geënumereerd.

We kunnen specifiekere combinaties tellen:

• combinaties waar we naast Davidi zitten
• combinaties waar we niet naast Davidi zitten

Van de 6 combinaties:

• 2 keer zitten we naast Davidi
• 4 keer zitten we niet naast Davidi

Daarom zitten we 2 van de 6 keer naast Davidi, en 4 van de 6 keer niet.

In de kansrekening spreken we van gebeurtenissen.
Een gebeurtenis is een verzameling mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment.
In ons geval is "naast Davidi zitten" een gebeurtenis en "niet naast Davidi zitten" is de complementaire gebeurtenis.

De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment wordt het Universum genoemd en wordt vaak aangeduid als (spreek uit: Omega).

De kans op de gebeurtenis "naast Davidi zitten" is wat vereenvoudigd kan worden tot . van de keren zitten we naast Davidi.

De kans op de complementaire gebeurtenis "niet naast Davidi zitten" is of . van de keren zitten we niet naast Davidi.

We merken op dat de kans op "naast Davidi zitten" () plus "niet naast Davidi zitten" () gelijk is aan . van de keren zitten we aan tafel (naast Davidi of niet).

Enkele wiskundige notaties om het werk te vereenvoudigen

Om de verdere analyse te vergemakkelijken, introduceer ik nieuwe wiskundige concepten: de notatie van kans, unie en doorsnede.

In de rest van het artikel noemen we de gebeurtenissen:

• : "naast Davidi zitten"
• : "Niet naast Davidi zitten"
• : "Aan tafel zitten"

De kans op een gebeurtenis wordt genoteerd als .

De unie van twee gebeurtenissen wordt genoteerd als:

• "naast Davidi zitten" OF "niet naast Davidi zitten"

Hier kunnen we zien dat de unie van deze twee gebeurtenissen overeenkomt met de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van dit experiment.

De twee gebeurtenissen hebben geen gemeenschappelijke elementen en alle mogelijke uitkomsten zijn gedekt, dit noemen we een partitie.

Hier zijn 2 nieuwe gebeurtenissen:

• : "Davidi zit op een van de twee stoelen aan de Rechterkant van de tafel"
• : "Hero zit op een van de twee stoelen aan de Rechterkant van de tafel"

De doorsnede van twee gebeurtenissen wordt genoteerd als:

• "Davidi zit op een van de twee stoelen aan de rechterkant van de tafel" EN (tegelijkertijd) "Hero zit op een van de twee stoelen aan de rechterkant van de tafel"

Ook hier kunnen we zien dat de unie van deze twee gebeurtenissen overeenkomt met de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van dit experiment.
Echter hebben de twee gebeurtenissengemeenschappelijke elementen, wat we de doorsnede van deze twee gebeurtenissen noemen.
Er zijn twee combinaties waar Hero en Davidi beiden aan de rechterkant van de tafel zitten.

De kans op "Davidi zit op een van de twee stoelen aan de Rechterkant van de tafel" is
De kans op "Hero zit op een van de twee stoelen aan de Rechterkant van de tafel" is
De kans op de doorsnede is
De kans op "aan tafel zitten" is

Per definitie bevinden de elementen in de doorsnede () zich zowel in de gebeurtenis als in de gebeurtenis .
en bevatten elk de kans die te wijten is aan de elementen van de doorsnede .
Daarom bevat de som van de kans van deze twee gebeurtenissen twee keer de kans die te wijten is aan de elementen van de doorsnede.

We kunnen ook opmerken dat de unie van de twee gebeurtenissen en het hele Universum () dekt.
We kunnen schrijven:

Een gebeurtenis met kans 1 wordt een zekere gebeurtenis genoemd.
De unie van een gebeurtenis en zijn complementaire gebeurtenis geeft een zekere gebeurtenis.
Een gebeurtenis en zijn complementaire gebeurtenis hebben geen gemeenschappelijke elementen en dus een lege doorsnede; ze worden disjunct genoemd.

In het algemeen, voor 3 gebeurtenissen A, B en C, als:

Dan:

Laten we terugkeren naar onze basisvraag: Wat is de kans om niet naast Davidi te zitten?

• met D: "naast Davidi zitten"
• met ND: "Niet naast Davidi zitten"
• met A: "aan tafel zitten"

Dezelfde resultaten wiskundig vinden

Onze drie gebeurtenissen zijn aan elkaar gekoppeld. We hebben:

We zullen zeker aan tafel zitten aan het einde van het toevallig experiment.
is een zekere gebeurtenis, dus

De kardinaliteit van het Universum van ons toevallig experiment bepalen

De kardinaliteit van een verzameling is het aantal elementen in die verzameling.
Als , dan is
bestaat uit de elementen , in totaal 5 elementen.

In ons voorbeeld zijn de elementen van ons Universumdrietallen van de vorm (Speler op stoel 1, op stoel 2, op stoel 3).
Bijvoorbeeld: (Hero, Villain, Davidi) betekent:

• Hero op stoel 1
• Villain op stoel 2
• Davidi op stoel 3

We moeten het totale aantal mogelijke combinaties bepalen bij het plaatsen van 3 personen op 3 stoelen.

De eerste stap is een van de drie spelers op een eerste stoel plaatsen.
Elke speler komt overeen met een mogelijkheid, wat ons 3 verschillende plaatsingen geeft.

De tweede stap is een van de twee resterende spelers op de tweede stoel plaatsen.
Voor elk van de 3 mogelijkheden zijn er twee nieuwe mogelijkheden.
Dit geeft ons een totaal van 3 x 2 verschillende plaatsingen in deze fase.

De laatste stap is de resterende speler op de laatste stoel plaatsen.
Er is slechts één mogelijkheid.
Dit maakt een totaal van 3 x 2 x 1 = 6 verschillende plaatsingen.

We hebben dus 6 verschillende plaatsingen waar 3 spelers op 3 stoelen worden geplaatst, wat gelijkstaat aan zeggen: de kardinaliteit van het Universum van ons toevallig experiment is 6.

De kardinaliteit van D bepalen

We kunnen gemakkelijk de combinaties bepalen waar we naast Davidi zitten zonder alle mogelijke gevallen op te sommen.
Daarentegen is het ingewikkeld om het aantal combinaties te berekenen waar we niet naast Davidi zitten.

Om deze reden proberen we de kans te berekenen om naast Davidi te zitten, en trekken we deze kans simpelweg af van 1 om de kans te krijgen om niet naast Davidi te zitten.

De starttafel

We beginnen met het scheiden van de 3 te plaatsen personen in twee groepen:

• Wij en Davidi
• De andere Villain

Villain plaatsen

We kunnen Villain op de linkerstoel plaatsen. De persoon op deze stoel is onvermijdelijk geïsoleerd van de andere twee te plaatsen spelers. Daarom kunnen we noch Davidi noch onszelf daar plaatsen.

De resterende plaatsingen berekenen

Zodra Villain is geplaatst, zijn er alleen nog twee aangrenzende stoelen en Davidi en wij om te plaatsen. Omdat de volgorde van plaatsing ertoe doet, bevinden we ons in hetzelfde geval als eerder en vinden we: 2 x 1 = 2 mogelijke plaatsingen
De gebeurtenis D komt overeen met twee combinaties, met andere woorden

De kans op D bepalen

De gebeurtenis D komt overeen met 2 combinaties van de 6 combinaties die het Universum vormen.
De gebeurtenis D zal 2 van de 6 keer plaatsvinden, wat overeenkomt met een kans van .

met en

De kans op ND bepalen

Nu we de kans op kennen, kunnen we gemakkelijk de kans op vinden.

Conclusie

De kans op de gebeurtenis "Niet naast Davidi zitten" is 66,66%.
2 van de 3 keer zitten we niet naast Davidi.

Samenvatting

• Het concept van kans verschijnt bij een toevallig experiment.
• Een gebeurtenis is een verzameling mogelijke uitkomsten.
• De kardinaliteit van een gebeurtenis is het aantal uitkomsten waaruit het bestaat.
  Genoteerd als:
• De kans op een gebeurtenis is de frequentie waarmee de gebeurtenis zal plaatsvinden.
  Genoteerd als:
• Een gebeurtenis is zeker wanneer we er zeker van zijn dat het zal plaatsvinden, dat wil zeggen een kans van 1 (of 100%).
• De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment wordt het Universum genoemd.
• De unie van een gebeurtenis en zijn complement () is gelijk aan het Universum.

Ik wil een paar tienen of beter...

We gaan proberen de kans te bepalen om een paar tienen of beter te krijgen in een online pokerhand, wat een goede starthand is en mogelijk kan leiden tot een three of a kind op de flop als combinatie.

Dit is alle informatie die we hebben:

• een deck bestaat uit 52 kaarten
• we krijgen 2 kaarten uit het deck
• de kaarten worden willekeurig gedeeld

Wat formalisme:

• gebeurtenis TT: een paar tienen krijgen
• gebeurtenis TT+: een paar tienen of beter krijgen (dat wil zeggen: paar tienen, Boeren, Vrouwen, Heren of Azen)

Eerste stap: twee kaarten trekken uit het deck van 52 kaarten

Om te beginnen moeten we het aantal combinaties berekenen dat overeenkomt met het trekken van 2 kaarten uit de 52 kaarten van het deck.
Om twee kaarten te trekken, moeten we eerst een kaart trekken en daarna een tweede.
Dit lijkt misschien voor de hand liggend, maar ik specificeer het toch liever.

Een kaart trekken uit een deck van 52 kaarten

Een mogelijke deal zou zijn om de Aas van harten te trekken, een andere deal zou zijn om de 2 van harten te trekken... en zo verder voor alle 52 kaarten van het deck.
We kunnen duidelijk zien dat een kaart overeenkomt met een mogelijke deal. Bij het trekken van slechts een kaart van 52 kaarten, is het aantal mogelijke deals 52.

Een kaart trekken uit een deck van 51 kaarten

Wanneer we de eerste kaart trekken, leggen we deze niet terug in het deck.
Bij het trekken van de tweede kaart zijn er nog maar 51 kaarten in het deck. We hebben dus 51 mogelijke deals.

Twee kaarten trekken uit een deck van 52 kaarten

We hebben 52 deals die overeenkomen met het trekken van een eerste kaart, vervolgens hebben we voor elk van deze deals51 andere mogelijke deals.
Dit betekent dat er 52 maal 51 mogelijke deals zijn van twee kaarten uit een deck van 52 kaarten. Dat is .

Rangschikkingen en combinaties

Tijdens onze verschillende stappen is er een notie van volgorde aanwezig.
Een Aas van harten trekken en daarna een Heer van harten is anders dan een Heer van harten trekken en daarna een Aas van harten, maar het is dezelfde hand.

Het concept rangschikking

Wanneer k elementen worden gekozen uit n en de notie van volgorde belangrijk is, krijgen we een k-tupel (een geordende lijst van k elementen). Dit k-tupel is een k-rangschikking.
We schrijven (lees "A" "n" "k"): het aantal k-rangschikkingen van n.

Met onze Aas van harten en Heer van harten hebben we 2 rangschikkingen voor dezelfde hand.

Het concept combinatie

Wanneer k elementen worden gekozen uit n en de notie van volgorde niet uitmaakt, krijgen we een verzameling van k elementen. Deze verzameling van k elementen is een k-combinatie.
Het wordt geschreven als (lees "C" "n" "k") of (lees "k" uit "n"): het aantal k-combinaties van n.

Een hand zoals Aas van harten en Heer van harten is een 2-combinatie.

Tweede stap: combinaties van twee kaarten uit 52

Het geval van No Limit Hold'em

We hebben mogelijke deals van 2 kaarten uit 52.
Door eerst een kaart te trekken, daarna een tweede kaart, introduceren we een notie van volgorde.
In werkelijkheid zijn wat we "mogelijke deals" noemen 2-rangschikkingen. Dat wil zeggen, rangschikkingen bestaande uit twee elementen.

We hebben 2652 2-rangschikkingen van 2 kaarten uit 52 kaarten.

Een 2-combinatie (de hand Aas van harten en Heer van harten) komt overeen met twee 2-rangschikkingen (Aas van harten / Heer van harten en Heer van harten / Aas van harten).
Om het aantal 2-combinaties te krijgen, moeten we het aantal 2-rangschikkingen delen door 2.

We krijgen 1326 verschillende handcombinaties in NLHE.

Het geval van Pot Limit Omaha

In PLO krijgen we niet 2 maar 4 kaarten uit 52 kaarten!
Het doel is om het aantal verschillende handcombinaties in PLO te bepalen.

Dit komt neer op de vraag: wanneer 4 kaarten worden getrokken uit een pokerdeck van 52 kaarten, hoeveel combinaties bestaan er?

Eerste stap: het aantal rangschikkingen vinden

Er zijn 6.497.400 mogelijke rangschikkingen van 4 kaarten uit 52.

Tweede stap: de notie van volgorde verwerken

We hebben 24 verschillende manieren om 4 elementen te ordenen. Een combinatie komt overeen met 24 rangschikkingen.

Derde stap: het aantal combinaties vinden


We krijgen 49.700 verschillende handcombinaties in PLO.

Een beetje wiskunde

Het concept faculteit

In de wiskunde is de faculteit van een natuurlijk getal k het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan k. (wikipedia.org)
Het wordt geschreven als: (lees "k faculteit")






Opmerking:

Laten we proberen onze rangschikkingen te schrijven met behulp van faculteiten:

We hebben

Laten we proberen onze combinaties te schrijven met behulp van faculteiten:

We hebben

Dankzij deze formules, als we het aantal mogelijke handcombinaties in NLHE willen vinden, hoeven we alleen maar te berekenen.

We krijgen hetzelfde resultaat als eerder in slechts een paar berekeningen.
Pfff, we zijn op onze pootjes terechtgekomen!



Kun je uitleggen waarom dit allemaal belangrijk is?...

Derde stap: een paar tienen krijgen

We willen de kans weten om een paar tienen te krijgen.
We zoeken met .
Het Universum komt overeen met alle mogelijke NLHE-handen, namelijk 1326 verschillende handen. De kardinaliteit van ons Universum is dus 1326.

We hebben met

Om te krijgen, moeten we het aantal mogelijke combinaties vinden om een paar tienen te vormen.
In een deck zijn er vier tienen. Een paar tienen betekent 2 kaarten van deze 4 hebben, of het aantal combinaties van 2 kaarten uit 4.

Er zijn dus 6 handen die een paar tienen kunnen vormen.
We hebben dus
De kans om een paar tienen te krijgen is 0,45%.

Vierde stap: een paar tienen of beter krijgen

Een paar tienen of beter krijgen betekent een van deze vijf paren krijgen:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

We zagen dat een paar tienen overeenkomt met 6 handen omdat er 4 tienenkaarten in het deck zitten. Aangezien alle paren op dezelfde manier zijn samengesteld (2 kaarten uit 4), komt elk paar overeen met 6 handen.
In ons geval hebben we:

Een paar tienen of beter krijgen komt overeen met 30 handen.

30 combo's zegt me niet veel...
Geen probleem, laten we het omrekenen naar een percentage!

De kans om een paar tienen of beter te krijgen is 2,26%.

En daar heb je het, in slechts een paar stappen hebben we de oorspronkelijke vraag beantwoord!

Samenvatting

• Wanneer we k elementen uit n elementen willen trekken met volgorde in de deal, krijgen we een k-rangschikking die een geordende lijst is van k elementen uit n.
• We schrijven , het aantal k-rangschikkingen van k elementen uit n.
• Wanneer we k elementen uit n elementen willen trekken zonder volgorde in de deal, krijgen we een k-combinatie die een ongeordende lijst is van k elementen uit n.
• We schrijven , het aantal k-combinaties van k elementen uit n.