Como Calcular Combinações e Probabilidades no Poker?

Em matemática, a combinatória, também chamada de análise combinatória, estuda as configurações de coleções finitas de objetos ou combinações de conjuntos finitos, e sua contagem.

Embora isso possa parecer complexo à primeira vista, é muito mais simples do que parece e é especialmente útil na análise de mãos de poker. Para explicar os fundamentos da combinatória, usaremos uma situação muito simples que você pode encontrar em torneios de Texas Hold'em poker ao vivo.

Estamos participando de um torneio 6-max em um cenário perfeito:

• piscina
• música
• cartas...

Tudo é perfeito, incluindo a presença de ninguém menos que Davidi Kitai. Um jogador talentoso capaz de qualquer coisa, especialmente de ganhar nossas fichas com uma facilidade desconcertante se ele estiver sentado ao nosso lado.

Após mais de 3 horas de jogo, estamos indo bem com um stack que supera as 35.000 fichas enquanto o stack médio é de 21.000 fichas. Nossa mesa é quebrada após uma mão final difícil que prejudicou tanto nosso stack quanto nossa confiança.

Restam-nos 18.325 fichas e seguimos para nossa nova mesa. Descobrimos uma mesa com apenas 3 jogadores e portanto 3 assentos vazios. Outros dois jogadores chegam para completar esta mesa 6-max, e entre eles está Davidi.

Tudo o que podemos fazer agora é torcer para não sentar ao lado de Davidi, o que seria um verdadeiro bad beat...

A Situação Inicial

Isso é tudo o que sabemos:

• Uma mesa 6-max com 3 jogadores já sentados
• Os jogadores se sentam aleatoriamente
• Davidi e nós devemos ocupar nossos assentos na mesa

No restante do artigo, estudaremos a disposição dos jogadores que completam a mesa.

Em teoria de probabilidades, isso se chama um experimento aleatório.
Um experimento aleatório é um experimento observável onde o resultado não pode ser previsto antecipadamente, mesmo que o experimento seja repetido em condições idênticas.

Qual é a Probabilidade de Não Sentar ao Lado de Davidi?

Se você está pronto, nosso objetivo é determinar a probabilidade de não sentarmos ao lado do implacável Davidi.

Listando Todas as Combinações Possíveis

Para começar, determinaremos todas as combinações existentes. Com 3 pessoas para colocar em 3 assentos, nada mais simples! Basta listá-las todas.

Obtemos 6 combinações possíveis para colocar 3 pessoas em 3 assentos. Ao listá-las, acabamos de enumerar todas as combinações possíveis.

Podemos contar combinações mais específicas:

• combinações onde estamos sentados ao lado de Davidi
• combinações onde não estamos sentados ao lado de Davidi

Das 6 combinações:

• 2 vezes, estamos sentados ao lado de Davidi
• 4 vezes, não estamos sentados ao lado de Davidi

Portanto, ficamos ao lado de Davidi 2 vezes em 6, e 4 vezes em 6 não ficaremos.

Em teoria de probabilidades, falamos de eventos.
Um evento é um conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.
No nosso caso, "sentar ao lado de Davidi" é um evento e "não sentar ao lado de Davidi" é seu evento complementar.

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório se chama Universo e é denotado frequentemente como (lê-se Ômega).

A probabilidade do evento "sentar ao lado de Davidi" é que pode ser simplificada para . das vezes, estaremos sentados ao lado de Davidi.

A probabilidade do evento complementar "não sentar ao lado de Davidi" é ou . das vezes, não estaremos sentados ao lado de Davidi.

Notamos que a probabilidade de "sentar ao lado de Davidi" () mais "não sentar ao lado de Davidi" () é igual a . das vezes, estaremos sentados na mesa (ao lado de Davidi ou não).

Algumas Notações Matemáticas para Simplificar o Trabalho

Para facilitar a análise posterior, introduzirei novos conceitos matemáticos: a notação de probabilidade, união e interseção.

No restante do artigo, nomearemos os eventos:

• : "sentar ao lado de Davidi"
• : "Não sentar ao lado de Davidi"
• : "estar Sentado na mesa"

A probabilidade de um evento se denota.

A união de dois eventos se denota:

• "sentar ao lado de Davidi" OU "não sentar ao lado de Davidi"

Aqui, podemos ver que a união desses dois eventos corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento.

Os dois eventos não têm elementos em comum e todos os resultados possíveis estão cobertos, isso se chama uma partição.

Aqui estão 2 novos eventos:

• : "Davidi se senta em um dos dois assentos da Direita da mesa"
• : "Hero se senta em um dos dois assentos da Direita da mesa"

A interseção de dois eventos se denota:

• "Davidi se senta em um dos dois assentos da direita da mesa" E (simultaneamente) "Hero se senta em um dos dois assentos da direita da mesa"

Aqui também, podemos ver que a união desses dois eventos corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento.
No entanto, os dois eventos têm elementos em comum, o que chamamos de interseção desses dois eventos.
Há duas combinações onde Hero e Davidi estão ambos localizados no lado direito da mesa.

A probabilidade de "Davidi se senta em um dos dois assentos da Direita da mesa" é
A probabilidade de "Hero se senta em um dos dois assentos da Direita da mesa" é
A probabilidade da interseção é
A probabilidade de "estar sentado na mesa" é

Por definição, os elementos presentes na interseção () se encontram tanto no evento quanto no evento .
e incluem cada um a probabilidade devida aos elementos da interseção .
Portanto, a soma da probabilidade desses dois eventos contém duas vezes a probabilidade devida aos elementos da interseção.

Também podemos notar que a união dos dois eventos e cobre todo o Universo ().
Podemos escrever:

Um evento com probabilidade de 1 se chama um evento certo.
A união de um evento e seu evento complementar dá um evento certo.
Um evento e seu evento complementar não têm elementos em comum e portanto uma interseção vazia; diz-se que são disjuntos.

Em geral, para 3 eventos A, B e C, se:

Então:

Voltemos à nossa pergunta básica: Qual é a probabilidade de não sentar ao lado de Davidi?

• onde D: "sentar ao lado de Davidi"
• onde ND: "Não sentar ao lado de Davidi"
• onde A: "estar sentado na mesa"

Encontrando os Mesmos Resultados Matematicamente

Nossos três eventos estão vinculados entre si. Temos:

Definitivamente estaremos sentados na mesa ao final do experimento aleatório.
é um evento certo, portanto

Determinando a Cardinalidade do Universo do Nosso Experimento Aleatório

A cardinalidade de um conjunto é o número de elementos contidos nesse conjunto.
Se , então
é composto pelos elementos , para um total de 5 elementos.

No nosso exemplo, os elementos do nosso Universo são trios da forma (Jogador no assento 1, no assento 2, no assento 3).
Por exemplo: (Hero, Villain, Davidi) significa:

• Hero no assento 1
• Villain no assento 2
• Davidi no assento 3

Precisamos determinar o número total de combinações possíveis ao colocar 3 pessoas em 3 assentos.

O primeiro passo é colocar um dos três jogadores em um primeiro assento.
Cada jogador corresponde a uma possibilidade, o que nos dá 3 colocações diferentes.

O segundo passo é colocar um dos dois jogadores restantes no segundo assento.
Para cada uma das 3 possibilidades, há duas novas possibilidades.
Isso nos dá um total de 3 x 2 colocações diferentes nesta etapa.

O passo final é colocar o jogador restante no último assento.
Resta apenas uma possibilidade.
Isso faz um total de 3 x 2 x 1 = 6 colocações diferentes.

Portanto, temos 6 colocações diferentes onde 3 jogadores se posicionam em 3 assentos, o que equivale a dizer: a cardinalidade do Universo do nosso experimento aleatório é 6.

Determinando a Cardinalidade de D

Podemos determinar facilmente as combinações onde estamos sentados ao lado de Davidi sem enumerar todos os casos possíveis.
Por outro lado, é complicado calcular o número de combinações onde não estamos ao lado de Davidi.

Por essa razão, buscamos calcular a probabilidade de estar ao lado de Davidi, e simplesmente subtrairemos essa probabilidade de 1 para obter a probabilidade de não estar ao lado de Davidi.

A Mesa de Partida

Começamos separando as 3 pessoas a colocar em dois grupos:

• Nós e Davidi
• O outro Villain

Colocando o Villain

Podemos colocar o Villain no assento da esquerda. A pessoa neste assento inevitavelmente estará isolada dos outros dois jogadores a serem colocados. Portanto, não podemos colocar nem Davidi nem nós ali.

Calculando as Colocações Restantes

Uma vez colocado o Villain, restam apenas dois assentos adjacentes e Davidi e nós para colocar. Como a ordem de colocação importa, estamos no mesmo caso que antes e encontramos: 2 x 1 = 2 colocações possíveis
O evento D corresponde a duas combinações, em outras palavras

Determinando a Probabilidade de D

O evento D corresponde a 2 combinações das 6 combinações que formam o Universo.
O evento D ocorrerá 2 vezes em 6, o que corresponde a uma probabilidade de .

onde e

Determinando a Probabilidade de ND

Agora que conhecemos a probabilidade de , podemos encontrar facilmente a probabilidade de .

Conclusão

A probabilidade do evento "Não sentar ao lado de Davidi" é de 66.66%.
2 vezes em 3, não estaremos sentados ao lado de Davidi.

Resumo

• O conceito de probabilidade aparece durante um experimento aleatório.
• Um evento é um conjunto de resultados possíveis.
• A cardinalidade de um evento é o número de resultados que o compõem.
  Nota-se como:
• A probabilidade de um evento é a frequência com que o evento ocorrerá.
  Nota-se como:
• Um evento é certo quando temos certeza de que ocorrerá, ou seja, tem uma probabilidade de 1 (ou 100%).
• O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório se chama o Universo.
• A união de um evento e seu complemento () é equivalente ao Universo.

Quero um Par de 10 ou Melhor...

Tentaremos determinar a probabilidade de receber um par de 10 ou melhor em uma mão de poker online, que é uma boa mão inicial e poderia potencialmente levar a uma trinca no flop como combinação.

Essa é toda a informação que temos:

• um baralho possui 52 cartas
• recebemos 2 cartas do baralho
• as cartas são distribuídas aleatoriamente

Um pouco de formalismo:

• evento TT: receber um par de 10
• evento TT+: receber um par de 10 ou melhor (ou seja: par de 10, Valetes, Damas, Reis ou Ases)

Primeiro Passo: Tirar Duas Cartas do Baralho de 52 Cartas

Para começar, precisamos calcular o número de combinações correspondentes a tirar 2 cartas das 52 cartas do baralho.
Para tirar duas cartas, primeiro devemos tirar uma carta e depois uma segunda.
Isso pode parecer óbvio, mas prefiro especificar mesmo assim.

Tirar Uma Carta de um Baralho de 52 Cartas

Uma possível distribuição seria tirar o Ás de copas, outra distribuição seria tirar o 2 de copas... e assim por diante para as 52 cartas do baralho.
Podemos ver claramente que uma carta corresponde a uma possível distribuição. Ao tirar apenas uma carta de 52 cartas, o número de possíveis distribuições é 52.

Tirar Uma Carta de um Baralho de 51 Cartas

Quando tiramos a primeira carta, não a devolvemos ao baralho.
Ao tirar a segunda carta, restam apenas 51 cartas no baralho. Então temos 51 possíveis distribuições.

Tirar Duas Cartas de um Baralho de 52 Cartas

Temos 52 distribuições correspondentes a tirar uma primeira carta, depois para cada uma dessas distribuições, temos 51 outras possíveis distribuições.
Isso significa que há 52 por 51 possíveis distribuições de duas cartas em um baralho de 52 cartas. Ou seja .

Arranjos e Combinações

Durante nossos diferentes passos, uma noção de ordem está presente.
Tirar um Ás de copas e depois um Rei de copas é diferente de tirar um Rei de copas e depois um Ás de copas, porém é a mesma mão.

O Conceito de Arranjos

Quando se escolhem k elementos de n e a noção de ordem é importante, obtemos uma k-tupla (uma lista ordenada de k elementos). Esta k-tupla é um k-arranjo.
Escrevemos (lê-se "A" "n" "k"): o número de k-arranjos de n.

Com nosso Ás de copas e Rei de copas, temos 2 arranjos para a mesma mão.

O Conceito de Combinação

Quando se escolhem k elementos de n e a noção de ordem não importa, obtemos um conjunto de k elementos. Este conjunto de k elementos é uma k-combinação.
Escreve-se como (lê-se "C" "n" "k") ou (lê-se "k" de "n"): o número de k-combinações de n.

Uma mão como Ás de copas e Rei de copas é uma 2-combinação.

Segundo Passo: Combinações de Duas Cartas de 52

O Caso do No Limit Hold'em

Temos possíveis distribuições de 2 cartas de 52.
Ao tirar uma primeira carta, depois uma segunda carta, introduzimos uma noção de ordem.
Na realidade, o que chamamos de "possíveis distribuições" são 2-arranjos. Ou seja, arranjos compostos por dois elementos.

Temos 2652 2-arranjos de 2 cartas de 52 cartas.

Uma 2-combinação (a mão Ás de copas e Rei de copas) corresponde a dois 2-arranjos (Ás de copas / Rei de copas e Rei de copas / Ás de copas).
Para obter o número de 2-combinações, precisamos dividir o número de 2-arranjos por 2.

Obtemos 1326 combinações de mãos diferentes em NLHE.

O Caso do Pot Limit Omaha

No PLO, não recebemos 2, mas sim 4 cartas de 52 cartas!
O objetivo é determinar o número de combinações de mãos diferentes no PLO.

Isso equivale a perguntar: quando se tiram 4 cartas de um baralho de poker de 52 cartas, quantas combinações existem?

Primeiro passo: Encontrar o número de arranjos

Há 6.497.400 arranjos possíveis de 4 cartas de 52.

Segundo passo: Lidar com a noção de ordem

Temos 24 formas diferentes de ordenar 4 elementos. Uma combinação corresponde a 24 arranjos.

Terceiro passo: Encontrar o número de combinações


Obtemos 49.700 combinações de mãos diferentes em PLO.

Um Pouco de Matemática

O Conceito de Fatorial

Em matemática, o fatorial de um número natural k é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a k. (wikipedia.org)
Escreve-se como: (lê-se "k fatorial")






Nota:

Tentemos escrever nossos arranjos usando fatoriais:

Temos

Tentemos escrever nossas combinações usando fatoriais:

Temos

Graças a essas fórmulas, se quisermos encontrar o número de combinações de mãos possíveis no NLHE, basta calcular .

Obtemos o mesmo resultado que antes em apenas alguns cálculos.
Ufa, caímos de pé!



Você pode explicar por que tudo isso importa?...

Terceiro Passo: Receber um Par de 10

Queremos saber a probabilidade de receber um par de 10.
Buscamos onde .
O Universo corresponde a todas as mãos possíveis de NLHE, que são 1326 mãos diferentes. Então a cardinalidade do nosso Universo é 1326.

Temos onde

Para obter , precisamos encontrar o número de combinações possíveis para formar um par de 10.
Em um baralho, há quatro 10. Um par de 10 significa ter 2 cartas dessas 4, ou o número de combinações de 2 cartas de 4.

Portanto há 6 mãos que podem formar um par de 10.
Então temos
A probabilidade de obter um par de 10 é de 0,45%.

Quarto Passo: Receber um Par de 10 ou Melhor

Receber um par de 10 ou melhor significa conseguir um destes cinco pares:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Vimos que um par de 10 corresponde a 6 mãos porque há 4 cartas de dez no baralho. Como todos os pares são compostos da mesma maneira (2 cartas de 4), cada par corresponde a 6 mãos.
No nosso caso, temos:

Obter um par de 10 ou melhor corresponde a 30 mãos.

30 combos não me diz muito...
Sem problema, vamos converter para porcentagem!

A probabilidade de obter um par de 10 ou melhor é de 2,26%.

E pronto, em apenas alguns passos, respondemos à pergunta original!

Resumo

• Quando queremos tirar k elementos de n elementos com ordem na distribuição, obtemos um k-arranjo que é uma lista ordenada de k elementos de n.
• Escrevemos , o número de k-arranjos de k elementos de n.
• Quando queremos tirar k elementos de n elementos sem ordem na distribuição, obtemos uma k-combinação que é uma lista desordenada de k elementos de n.
• Escrevemos , o número de k-combinações de k elementos de n.