Wie berechnet man Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten im Poker?

In der Mathematik untersucht die Kombinatorik, auch kombinatorische Analyse genannt, die Konfigurationen von endlichen Sammlungen von Objekten oder Kombinationen von endlichen Mengen und deren Zählung.

Auch wenn das auf den ersten Blick komplex klingen mag, ist es viel einfacher als es scheint und besonders nützlich bei der Poker-Handanalyse. Um die Grundlagen der Kombinatorik zu erklären, verwenden wir eine sehr einfache Situation, der du bei Live-Texas-Holdem-Pokerturnieren begegnen könntest.

Wir nehmen an einem 6-max-Turnier in einem perfekten Szenario teil:

• Pool
• Musik
• Karten...

Alles ist perfekt, einschliesslich der Anwesenheit von niemand Geringerem als Davidi Kitai. Ein talentierter Spieler, der zu allem fähig ist, insbesondere unsere Chips mit erschreckender Leichtigkeit zu gewinnen, wenn er neben uns sitzt.

Nach mehr als 3 Stunden Spiel sind wir gut unterwegs mit einem Stack von über 35.000 Chips, während der Durchschnittsstack bei 21.000 Chips liegt. Unser Tisch wird aufgelöst nach einer schwierigen letzten Hand, die sowohl unseren Stack als auch unser Selbstvertrauen beschädigt hat.

Uns bleiben 18.325 Chips und wir gehen zu unserem neuen Tisch. Wir entdecken einen Tisch mit nur 3 Spielern und dementsprechend 3 freien Plätzen. Zwei weitere Spieler kommen, um diesen 6-max-Tisch zu vervollständigen, und unter ihnen ist Davidi.

Alles, was wir jetzt tun können, ist zu hoffen, nicht neben Davidi zu sitzen, was ein echter Bad Beat wäre...

Die Ausgangssituation

Das ist alles, was wir wissen:

• Ein 6-max-Tisch mit 3 Spielern, die bereits sitzen
• Die Spieler setzen sich zufällig
• Davidi und wir müssen unsere Plätze am Tisch einnehmen

Im Rest des Artikels werden wir die Anordnung der Spieler untersuchen, die den Tisch vervollständigen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie nennt man das ein Zufallsexperiment.
Ein Zufallsexperiment ist ein beobachtbares Experiment, dessen Ergebnis nicht im Voraus vorhergesagt werden kann, selbst wenn das Experiment unter identischen Bedingungen wiederholt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nicht neben Davidi zu sitzen?

Wenn du bereit bist, ist unser Ziel, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, nicht neben dem gnadenlosen Davidi zu sitzen.

Auflistung aller möglichen Kombinationen

Zunächst werden wir alle existierenden Kombinationen bestimmen. Mit 3 Personen, die auf 3 Plätze verteilt werden müssen, nichts einfacher als das! Wir müssen nur alle auflisten.

Wir erhalten 6 mögliche Kombinationen, um 3 Personen auf 3 Plätze zu verteilen. Durch das Auflisten haben wir gerade alle möglichen Kombinationen aufgezählt.

Man kann spezifischere Kombinationen zählen:

• Kombinationen, bei denen wir neben Davidi sitzen
• Kombinationen, bei denen wir nicht neben Davidi sitzen

Von den 6 Kombinationen:

• 2 Mal sitzen wir neben Davidi
• 4 Mal sitzen wir nicht neben Davidi

Wir landen also 2 von 6 Mal neben Davidi, und 4 von 6 Mal nicht.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von Ereignissen.
Ein Ereignis ist eine Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
In unserem Fall ist „neben Davidi sitzen" ein Ereignis und „nicht neben Davidi sitzen" sein Komplementärereignis.

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als Universum bezeichnet und oft als notiert (gelesen als Omega).

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „neben Davidi sitzen" ist , was sich zu vereinfachen lässt. der Fälle werden wir neben Davidi sitzen.

Die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses „nicht neben Davidi sitzen" ist oder . der Fälle werden wir nicht neben Davidi sitzen.

Wir stellen fest, dass die Wahrscheinlichkeit von „neben Davidi sitzen" () plus „nicht neben Davidi sitzen" () gleich ist. der Fälle werden wir am Tisch sitzen (neben Davidi oder nicht).

Einige mathematische Notationen zur Vereinfachung der Arbeit

Um die weitere Analyse zu erleichtern, führe ich neue mathematische Konzepte ein: die Notation für Wahrscheinlichkeit, Vereinigung und Schnittmenge.

Im weiteren Verlauf des Artikels benennen wir die Ereignisse:

• : „neben Davidi sitzen"
• : „Nicht neben Davidi sitzen"
• : „am Tisch sitzen"

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird notiert als .

Die Vereinigung zweier Ereignisse wird notiert als:

• „neben Davidi sitzen" ODER „nicht neben Davidi sitzen"

Hier können wir sehen, dass die Vereinigung dieser beiden Ereignisse der Menge aller möglichen Ergebnisse dieses Experiments entspricht.

Die beiden Ereignisse haben keine gemeinsamen Elemente und alle möglichen Ergebnisse sind abgedeckt, das nennt man eine Partition.

Hier sind 2 neue Ereignisse:

• : „Davidi sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch"
• : „Hero sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch"

Die Schnittmenge zweier Ereignisse wird notiert als:

• „Davidi sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch" UND (gleichzeitig) „Hero sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch"

Auch hier können wir sehen, dass die Vereinigung dieser beiden Ereignisse der Menge aller möglichen Ergebnisse dieses Experiments entspricht.
Allerdings haben die beiden Ereignissegemeinsame Elemente, die wir als Schnittmenge dieser beiden Ereignisse bezeichnen.
Es gibt zwei Kombinationen, bei denen Hero und Davidi beide auf der rechten Seite des Tisches sitzen.

Die Wahrscheinlichkeit von „Davidi sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch" ist
Die Wahrscheinlichkeit von „Hero sitzt auf einem der beiden rechten Plätze am Tisch" ist
Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge ist
Die Wahrscheinlichkeit von „am Tisch sitzen" ist

Per Definition befinden sich die Elemente in der Schnittmenge () sowohl im Ereignis als auch im Ereignis .
und enthalten jeweils die Wahrscheinlichkeit aufgrund der Elemente der Schnittmenge .
Daher enthält die Summe der Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse zweimal die Wahrscheinlichkeit aufgrund der Elemente der Schnittmenge.

Wir können auch feststellen, dass die Vereinigung der beiden Ereignisse und das gesamte Universum () abdeckt.
Wir können schreiben:

Ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 wird als sicheres Ereignis bezeichnet.
Die Vereinigung eines Ereignisses und seines Komplementärereignisses ergibt ein sicheres Ereignis.
Ein Ereignis und sein Komplementärereignis haben keine gemeinsamen Elemente und somit eine leere Schnittmenge; man sagt, sie sind disjunkt.

Im Allgemeinen gilt für 3 Ereignisse A, B und C, wenn:

Dann:

Kommen wir zu unserer Grundfrage zurück: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nicht neben Davidi zu sitzen?

• wobei D: „neben Davidi sitzen"
• wobei ND: „Nicht neben Davidi sitzen"
• wobei A: „am Tisch sitzen"

Die gleichen Ergebnisse mathematisch finden

Unsere drei Ereignisse sind miteinander verknüpft. Wir haben:

Wir werden definitiv am Ende des Zufallsexperiments am Tisch sitzen.
ist ein sicheres Ereignis, daher

Bestimmung der Kardinalität des Universums unseres Zufallsexperiments

Die Kardinalität einer Menge ist die Anzahl der Elemente in dieser Menge.
Wenn , dann
besteht aus den Elementen , insgesamt 5 Elemente.

In unserem Beispiel sind die Elemente unseres UniversumsTripel der Form (Spieler auf Platz 1, auf Platz 2, auf Platz 3).
Zum Beispiel: (Hero, Villain, Davidi) bedeutet:

• Hero auf Platz 1
• Villain auf Platz 2
• Davidi auf Platz 3

Wir müssen die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen bestimmen, wenn 3 Personen auf 3 Plätze verteilt werden.

Der erste Schritt ist, einen der drei Spieler auf einen ersten Platz zu setzen.
Jeder Spieler entspricht einer Möglichkeit, was uns 3 verschiedene Platzierungen ergibt.

Der zweite Schritt ist, einen der beiden verbleibenden Spieler auf den zweiten Platz zu setzen.
Für jede der 3 Möglichkeiten gibt es zwei neue Möglichkeiten.
Das ergibt insgesamt 3 x 2 verschiedene Platzierungen in diesem Stadium.

Der letzte Schritt ist, den verbleibenden Spieler auf den letzten Platz zu setzen.
Es bleibt nur eine Möglichkeit.
Das ergibt insgesamt 3 x 2 x 1 = 6 verschiedene Platzierungen.

Wir haben also 6 verschiedene Platzierungen, bei denen 3 Spieler auf 3 Plätze verteilt werden, was gleichbedeutend ist mit: die Kardinalität des Universums unseres Zufallsexperiments beträgt 6.

Bestimmung der Kardinalität von D

Wir können einfach die Kombinationen bestimmen, bei denen wir neben Davidi sitzen, ohne alle möglichen Fälle aufzuzählen.
Im Gegensatz dazu ist es kompliziert, die Anzahl der Kombinationen zu berechnen, bei denen wir nicht neben Davidi sitzen.

Aus diesem Grund berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, neben Davidi zu sitzen, und ziehen diese einfach von 1 ab, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, nicht neben Davidi zu sitzen.

Der Ausgangstisch

Wir beginnen damit, die 3 zu platzierenden Personen in zwei Gruppen aufzuteilen:

• Wir und Davidi
• Der andere Villain

Platzierung von Villain

Wir können Villain auf den linken Platz setzen. Die Person auf diesem Platz wird unweigerlich von den beiden anderen zu platzierenden Spielern isoliert sein. Daher können wir weder Davidi noch uns dort platzieren.

Berechnung der verbleibenden Platzierungen

Sobald Villain platziert ist, bleiben nur noch zwei benachbarte Plätze und Davidi und wir zum Platzieren. Da die Reihenfolge der Platzierung wichtig ist, befinden wir uns im gleichen Fall wie zuvor und finden: 2 x 1 = 2 mögliche Platzierungen
Das Ereignis D entspricht zwei Kombinationen, mit anderen Worten

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von D

Das Ereignis D entspricht 2 Kombinationen von den 6 Kombinationen, die das Universum bilden.
Das Ereignis D tritt 2 von 6 Mal ein, was einer Wahrscheinlichkeit von entspricht.

wobei und

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von ND

Jetzt, da wir die Wahrscheinlichkeit von kennen, können wir leicht die Wahrscheinlichkeit von finden.

Fazit

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Nicht neben Davidi sitzen" beträgt 66,66%.
2 von 3 Mal werden wir nicht neben Davidi sitzen.

Zusammenfassung

• Das Konzept der Wahrscheinlichkeit taucht bei einem Zufallsexperiment auf.
• Ein Ereignis ist eine Menge möglicher Ergebnisse.
• Die Kardinalität eines Ereignisses ist die Anzahl der Ergebnisse, aus denen es besteht.
  Man notiert:
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Häufigkeit, mit der das Ereignis eintritt.
  Man notiert:
• Ein Ereignis ist sicher, wenn wir sicher sind, dass es eintreten wird, das heisst, es hat eine Wahrscheinlichkeit von 1 (oder 100%).
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als Universum bezeichnet.
• Die Vereinigung eines Ereignisses und seines Komplements () ist äquivalent zum Universum.

Ich möchte ein Paar Zehner oder besser...

Wir werden versuchen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ein Paar Zehner oder besser in einer Online-Pokerhand zu erhalten, was eine gute Starthand ist und potenziell zu einem Drilling am Flop als Kombination führen könnte.

Das sind alle Informationen, die wir haben:

• ein Deck besteht aus 52 Karten
• wir erhalten 2 Karten aus dem Deck
• die Karten werden zufällig ausgeteilt

Etwas Formalismus:

• Ereignis TT: ein Paar Zehner erhalten
• Ereignis TT+: ein Paar Zehner oder besser erhalten (also: Paar Zehner, Buben, Damen, Könige oder Asse)

Erster Schritt: Zwei Karten aus dem 52-Karten-Deck ziehen

Zunächst müssen wir die Anzahl der Kombinationen berechnen, die dem Ziehen von 2 Karten aus den 52 Karten des Decks entsprechen.
Um zwei Karten zu ziehen, müssen wir zuerst eine Karte und dann eine zweite ziehen.
Das mag offensichtlich erscheinen, aber ich möchte es trotzdem spezifizieren.

Eine Karte aus einem 52-Karten-Deck ziehen

Eine mögliche Ausgabe wäre das Herz-Ass zu ziehen, eine andere Ausgabe wäre die Herz-2 zu ziehen... und so weiter für alle 52 Karten des Decks.
Wir können klar erkennen, dass eine Karte einer möglichen Ausgabe entspricht. Beim Ziehen von nur einer Karte aus 52 Karten beträgt die Anzahl der möglichen Ausgaben 52.

Eine Karte aus einem 51-Karten-Deck ziehen

Wenn wir die erste Karte ziehen, legen wir sie nicht zurück ins Deck.
Beim Ziehen der zweiten Karte sind nur noch 51 Karten im Deck. Wir haben also 51 mögliche Ausgaben.

Zwei Karten aus einem 52-Karten-Deck ziehen

Wir haben 52 Ausgaben für das Ziehen einer ersten Karte, dann für jede dieser Ausgaben haben wir 51 weitere mögliche Ausgaben.
Das bedeutet, es gibt 52 mal 51 mögliche Ausgaben von zwei Karten in einem 52-Karten-Deck. Das sind .

Anordnungen und Kombinationen

Während unserer verschiedenen Schritte ist ein Ordnungsbegriff vorhanden.
Ein Herz-Ass und dann einen Herz-König zu ziehen ist anders als einen Herz-König und dann ein Herz-Ass zu ziehen, dennoch ist es die gleiche Hand.

Das Konzept der Anordnungen

Wenn k Elemente aus n gewählt werden und die Reihenfolge wichtig ist, erhält man ein k-Tupel (eine geordnete Liste von k Elementen). Dieses k-Tupel ist eine k-Anordnung.
Wir schreiben (gelesen als „A" „n" „k"): die Anzahl der k-Anordnungen von n.

Mit unserem Herz-Ass und Herz-König haben wir 2 Anordnungen für dieselbe Hand.

Das Konzept der Kombination

Wenn k Elemente aus n gewählt werden und die Reihenfolge nicht wichtig ist, erhält man eine Menge von k Elementen. Diese Menge von k Elementen ist eine k-Kombination.
Man schreibt (gelesen als „C" „n" „k") oder (gelesen als „k aus n"): die Anzahl der k-Kombinationen von n.

Eine Hand wie Herz-Ass und Herz-König ist eine 2-Kombination.

Zweiter Schritt: Kombinationen von zwei Karten aus 52

Der Fall des No Limit Hold'em

Wir haben mögliche Ausgaben von 2 Karten aus 52.
Beim Ziehen einer ersten Karte, dann einer zweiten Karte, haben wir einen Ordnungsbegriff eingeführt.
Tatsächlich sind das, was wir „mögliche Ausgaben" nennen, 2-Anordnungen. Also Anordnungen bestehend aus zwei Elementen.

Wir haben 2652 2-Anordnungen von 2 Karten aus 52 Karten.

Eine 2-Kombination (die Hand Herz-Ass und Herz-König) entspricht zwei 2-Anordnungen (Herz-Ass / Herz-König und Herz-König / Herz-Ass).
Um die Anzahl der 2-Kombinationen zu erhalten, müssen wir die Anzahl der 2-Anordnungen durch 2 teilen.

Wir erhalten 1326 verschiedene Handkombinationen im NLHE.

Der Fall des Pot Limit Omaha

Im PLO erhalten wir nicht 2, sondern 4 Karten aus 52 Karten!
Das Ziel ist es, die Anzahl der verschiedenen Handkombinationen im PLO zu bestimmen.

Das entspricht der Frage: Wenn 4 Karten aus einem Poker-Deck mit 52 Karten gezogen werden, wie viele Kombinationen gibt es?

Erster Schritt: Die Anzahl der Anordnungen finden

Es gibt 6.497.400 mögliche Anordnungen von 4 Karten aus 52.

Zweiter Schritt: Den Ordnungsbegriff behandeln

Wir haben 24 verschiedene Möglichkeiten, 4 Elemente zu ordnen. Eine Kombination entspricht 24 Anordnungen.

Dritter Schritt: Die Anzahl der Kombinationen finden


Wir erhalten 49.700 verschiedene Handkombinationen im PLO.

Ein bisschen Mathematik

Das Konzept der Fakultät

In der Mathematik ist die Fakultät einer natürlichen Zahl k das Produkt aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich k. (wikipedia.org)
Man schreibt: (gelesen als „k Fakultät")






Hinweis:

Versuchen wir, unsere Anordnungen mit Fakultäten zu schreiben:

Wir haben

Versuchen wir, unsere Kombinationen mit Fakultäten zu schreiben:

Wir haben

Dank dieser Formeln müssen wir, wenn wir die Anzahl der möglichen Handkombinationen im NLHE finden wollen, nur berechnen.

Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie zuvor in nur wenigen Berechnungen.
Puh, wir sind auf den Füssen gelandet!



Kannst du erklären, warum das alles wichtig ist?...

Dritter Schritt: Ein Paar Zehner erhalten

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit wissen, ein Paar Zehner zu erhalten.
Wir suchen wobei .
Das Universum entspricht allen möglichen NLHE-Händen, das sind 1326 verschiedene Hände. Die Kardinalität unseres Universums beträgt also 1326.

Wir haben wobei

Um zu erhalten, müssen wir die Anzahl der möglichen Kombinationen finden, um ein Paar Zehner zu bilden.
In einem Deck gibt es vier Zehner. Ein Paar Zehner bedeutet, 2 Karten aus diesen 4 zu haben, also die Anzahl der Kombinationen von 2 Karten aus 4.

Es gibt also 6 Hände, die ein Paar Zehner bilden können.
Wir haben also
Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar Zehner zu erhalten, beträgt 0,45%.

Vierter Schritt: Ein Paar Zehner oder besser erhalten

Ein Paar Zehner oder besser zu erhalten bedeutet, eines dieser fünf Paare zu bekommen:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Wir haben gesehen, dass ein Paar Zehner 6 Händen entspricht, da es 4 Zehner im Deck gibt. Da alle Paare auf die gleiche Weise zusammengesetzt sind (2 Karten aus 4), entspricht jedes Paar 6 Händen.
In unserem Fall haben wir:

Ein Paar Zehner oder besser zu erhalten entspricht 30 Händen.

30 Combos sagt mir nicht viel...
Kein Problem, rechnen wir es in Prozent um!

Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar Zehner oder besser zu erhalten, beträgt 2,26%.

Und schon haben wir in nur wenigen Schritten die ursprüngliche Frage beantwortet!

Zusammenfassung

• Wenn wir k Elemente aus n Elementen mit Reihenfolge bei der Ausgabe ziehen wollen, erhalten wir eine k-Anordnung, die eine geordnete Liste von k Elementen aus n ist.
• Wir schreiben , die Anzahl der k-Anordnungen von k Elementen aus n.
• Wenn wir k Elemente aus n Elementen ohne Reihenfolge bei der Ausgabe ziehen wollen, erhalten wir eine k-Kombination, die eine ungeordnete Liste von k Elementen aus n ist.
• Wir schreiben , die Anzahl der k-Kombinationen von k Elementen aus n.