Como Calcular Combinacoes e Probabilidades no Poker?

Em matematica, a combinatoria, tambem chamada analise combinatoria, estuda as configuracoes de colecoes finitas de objetos ou combinacoes de conjuntos finitos, e a sua contagem.

Embora isto possa parecer complexo a primeira vista, e muito mais simples do que parece e e especialmente util na analise de maos de poker. Para explicar os fundamentos da combinatoria, utilizaremos uma situacao muito simples que pode encontrar em torneios de Texas Hold'em poker ao vivo.

Estamos a participar num torneio 6-max num cenario perfeito:

• piscina
• musica
• cartas...

Tudo e perfeito, incluindo a presenca de nada menos que Davidi Kitai. Um jogador talentoso capaz de tudo, especialmente de ganhar as nossas fichas com uma facilidade desconcertante caso esteja sentado ao nosso lado.

Apos mais de 3 horas de jogo, estamos bem encaminhados com um stack que ultrapassa as 35.000 fichas enquanto o stack medio e de 21.000 fichas. A nossa mesa e desfeita apos uma mao final dificil que prejudicou tanto o nosso stack como a nossa confianca.

Ficamos com 18.325 fichas e dirigimo-nos para a nossa nova mesa. Descobrimos uma mesa com apenas 3 jogadores e portanto 3 lugares vazios. Outros dois jogadores chegam para completar esta mesa 6-max, e entre eles esta Davidi.

Tudo o que podemos fazer agora e esperar nao ficar sentado ao lado do Davidi, o que seria um verdadeiro bad beat...

A Situacao Inicial

Isto e tudo o que sabemos:

• Uma mesa 6-max com 3 jogadores ja sentados
• Os jogadores sentam-se aleatoriamente
• O Davidi e nos temos de ocupar os nossos lugares na mesa

No resto do artigo, estudaremos a disposicao dos jogadores que completam a mesa.

Em teoria de probabilidades, isto chama-se uma experiencia aleatoria.
Uma experiencia aleatoria e uma experiencia observavel em que o resultado nao pode ser previsto antecipadamente, mesmo que a experiencia seja repetida em condicoes identicas.

Qual e a Probabilidade de Nao Ficar Sentado ao Lado do Davidi?

Se estiver pronto, o nosso objetivo e determinar a probabilidade de nao ficarmos sentados ao lado do temivel Davidi.

Listagem de Todas as Combinacoes Possiveis

Para comecar, determinaremos todas as combinacoes existentes. Com 3 pessoas para colocar em 3 lugares, nada mais simples! Basta lista-las todas.

Obtemos 6 combinacoes possiveis para colocar 3 pessoas em 3 lugares. Ao lista-las, acabamos de enumerar todas as combinacoes possiveis.

Podem ser contadas combinacoes mais especificas:

• combinacoes em que estamos sentados ao lado do Davidi
• combinacoes em que nao estamos sentados ao lado do Davidi

Das 6 combinacoes:

• 2 vezes, estamos sentados ao lado do Davidi
• 4 vezes, nao estamos sentados ao lado do Davidi

Portanto, ficamos ao lado do Davidi 2 vezes em 6, e 4 vezes em 6 nao ficaremos.

Em teoria de probabilidades, falamos de eventos.
Um evento e um conjunto de resultados possiveis de uma experiencia aleatoria.
No nosso caso, "ficar sentado ao lado do Davidi" e um evento e "nao ficar sentado ao lado do Davidi" e o seu evento complementar.

O conjunto de todos os resultados possiveis de uma experiencia aleatoria chama-se o Universo e denota-se frequentemente como (le-se Omega).

A probabilidade do evento "ficar sentado ao lado do Davidi" e que pode ser simplificada para . das vezes, estaremos sentados ao lado do Davidi.

A probabilidade do evento complementar "nao ficar sentado ao lado do Davidi" e ou . das vezes, nao estaremos sentados ao lado do Davidi.

Notamos que a probabilidade de "ficar sentado ao lado do Davidi" () mais "nao ficar sentado ao lado do Davidi" () e igual a . das vezes, estaremos sentados na mesa (ao lado do Davidi ou nao).

Algumas Notacoes Matematicas para Simplificar o Trabalho

Para facilitar a analise posterior, introduzirei novos conceitos matematicos: a notacao de probabilidade, uniao e intersecao.

No resto do artigo, nomearemos os eventos:

• : "ficar sentado ao lado do Davidi"
• : "Nao ficar sentado ao lado do Davidi"
• : "estar Sentado na mesa"

A probabilidade de um evento denota-se.

A uniao de dois eventos denota-se:

• "ficar sentado ao lado do Davidi" OU "nao ficar sentado ao lado do Davidi"

Aqui, podemos ver que a uniao destes dois eventos corresponde ao conjunto de todos os resultados possiveis desta experiencia.

Os dois eventos nao tem elementos em comum e todos os resultados possiveis estao cobertos, isto chama-se uma particao.

Aqui estao 2 novos eventos:

• : "Davidi senta-se num dos dois lugares da Direita da mesa"
• : "Hero senta-se num dos dois lugares da Direita da mesa"

A intersecao de dois eventos denota-se:

• "Davidi senta-se num dos dois lugares da direita da mesa" E (simultaneamente) "Hero senta-se num dos dois lugares da direita da mesa"

Aqui tambem, podemos ver que a uniao destes dois eventos corresponde ao conjunto de todos os resultados possiveis desta experiencia.
Contudo, os dois eventos tem elementos em comum, o que chamamos de intersecao destes dois eventos.
Existem duas combinacoes em que Hero e Davidi estao ambos no lado direito da mesa.

A probabilidade de "Davidi senta-se num dos dois lugares da Direita da mesa" e
A probabilidade de "Hero senta-se num dos dois lugares da Direita da mesa" e
A probabilidade da intersecao e
A probabilidade de "estar sentado na mesa" e

Por definicao, os elementos presentes na intersecao () encontram-se tanto no evento como no evento .
e incluem cada um a probabilidade devida aos elementos da intersecao .
Portanto, a soma da probabilidade destes dois eventos contem duas vezes a probabilidade devida aos elementos da intersecao.

Tambem podemos notar que a uniao dos dois eventos e cobre todo o Universo ().
Podemos escrever:

Um evento com probabilidade de 1 chama-se um evento certo.
A uniao de um evento e o seu evento complementar da um evento certo.
Um evento e o seu evento complementar nao tem elementos em comum e portanto uma intersecao vazia; diz-se que sao disjuntos.

Em geral, para 3 eventos A, B e C, se:

Entao:

Voltemos a nossa questao basica: Qual e a probabilidade de nao ficar sentado ao lado do Davidi?

• onde D: "ficar sentado ao lado do Davidi"
• onde ND: "Nao ficar sentado ao lado do Davidi"
• onde A: "estar sentado na mesa"

Encontrando os Mesmos Resultados Matematicamente

Os nossos tres eventos estao ligados entre si. Temos:

Definitivamente estaremos sentados na mesa no final da experiencia aleatoria.
e um evento certo, portanto

Determinando a Cardinalidade do Universo da Nossa Experiencia Aleatoria

A cardinalidade de um conjunto e o numero de elementos contidos nesse conjunto.
Se , entao
e composto pelos elementos , perfazendo um total de 5 elementos.

No nosso exemplo, os elementos do nosso Universo sao tripletos da forma (Jogador no lugar 1, no lugar 2, no lugar 3).
Por exemplo: (Hero, Villain, Davidi) significa:

• Hero no lugar 1
• Villain no lugar 2
• Davidi no lugar 3

Precisamos de determinar o numero total de combinacoes possiveis ao colocar 3 pessoas em 3 lugares.

O primeiro passo e colocar um dos tres jogadores num primeiro lugar.
Cada jogador corresponde a uma possibilidade, o que nos da 3 colocacoes diferentes.

O segundo passo e colocar um dos dois jogadores restantes no segundo lugar.
Para cada uma das 3 possibilidades, existem duas novas possibilidades.
Isto da-nos um total de 3 x 2 colocacoes diferentes nesta fase.

O passo final e colocar o jogador restante no ultimo lugar.
So resta uma possibilidade.
Isto perfaz um total de 3 x 2 x 1 = 6 colocacoes diferentes.

Portanto, temos 6 colocacoes diferentes em que 3 jogadores se distribuem por 3 lugares, o que equivale a dizer: a cardinalidade do Universo da nossa experiencia aleatoria e 6.

Determinando a Cardinalidade de D

Podemos determinar facilmente as combinacoes em que estamos sentados ao lado do Davidi sem enumerar todos os casos possiveis.
Pelo contrario, e complicado calcular o numero de combinacoes em que nao estamos ao lado do Davidi.

Por esta razao, procuramos calcular a probabilidade de ficar ao lado do Davidi, e simplesmente subtrairemos esta probabilidade de 1 para obter a probabilidade de nao ficar ao lado do Davidi.

A Mesa de Partida

Comecamos separando as 3 pessoas a colocar em dois grupos:

• Nos e Davidi
• O outro Villain

Colocando o Villain

Podemos colocar o Villain no lugar da esquerda. A pessoa neste lugar ficara inevitavelmente isolada dos outros dois jogadores a colocar. Portanto, nao podemos colocar nem o Davidi nem nos la.

Calculando as Colocacoes Restantes

Uma vez colocado o Villain, so restam dois lugares adjacentes e Davidi e nos para colocar. Como a ordem de colocacao importa, estamos no mesmo caso de antes e encontramos: 2 x 1 = 2 colocacoes possiveis
O evento D corresponde a duas combinacoes, por outras palavras

Determinando a Probabilidade de D

O evento D corresponde a 2 combinacoes das 6 combinacoes que formam o Universo.
O evento D ocorrera 2 vezes em 6, o que corresponde a uma probabilidade de .

onde e

Determinando a Probabilidade de ND

Agora que conhecemos a probabilidade de , podemos encontrar facilmente a probabilidade de .

Conclusao

A probabilidade do evento "Nao ficar sentado ao lado do Davidi" e de 66,66%.
2 vezes em 3, nao estaremos sentados ao lado do Davidi.

Resumo

• O conceito de probabilidade aparece durante uma experiencia aleatoria.
• Um evento e um conjunto de resultados possiveis.
• A cardinalidade de um evento e o numero de resultados que o compoem.
  Nota-se como:
• A probabilidade de um evento e a frequencia com que o evento ocorrera.
  Nota-se como:
• Um evento e certo quando temos a certeza de que ocorrera, ou seja, tem uma probabilidade de 1 (ou 100%).
• O conjunto de todos os resultados possiveis de uma experiencia aleatoria chama-se o Universo.
• A uniao de um evento e o seu complementar () e equivalente ao Universo.

Quero um Par de 10 ou Melhor...

Tentaremos determinar a probabilidade de receber um par de 10 ou melhor numa mao de poker online, que e uma boa mao inicial e poderia potencialmente levar a um trio no Flop como combinacao.

Esta e toda a informacao de que dispomos:

• um baralho e composto por 52 cartas
• recebemos 2 cartas do baralho
• as cartas sao distribuidas aleatoriamente

Um pouco de formalismo:

• evento TT: receber um par de 10
• evento TT+: receber um par de 10 ou melhor (ou seja: par de 10, Valetes, Damas, Reis ou Ases)

Primeiro Passo: Tirar Duas Cartas do Baralho de 52 Cartas

Para comecar, precisamos de calcular o numero de combinacoes correspondentes a tirar 2 cartas das 52 cartas do baralho.
Para tirar duas cartas, primeiro devemos tirar uma carta e depois uma segunda.
Isto pode parecer obvio, mas prefiro especifica-lo de qualquer forma.

Tirar Uma Carta de um Baralho de 52 Cartas

Uma distribuicao possivel seria tirar o As de copas, outra distribuicao seria tirar o 2 de copas... e assim sucessivamente para as 52 cartas do baralho.
Podemos ver claramente que uma carta corresponde a uma distribuicao possivel. Ao tirar apenas uma carta de 52 cartas, o numero de distribuicoes possiveis e 52.

Tirar Uma Carta de um Baralho de 51 Cartas

Quando tiramos a primeira carta, nao a devolvemos ao baralho.
Ao tirar a segunda carta, so restam 51 cartas no baralho. Portanto, temos 51 distribuicoes possiveis.

Tirar Duas Cartas de um Baralho de 52 Cartas

Temos 52 distribuicoes correspondentes a tirar uma primeira carta, depois para cada uma destas distribuicoes, temos 51 outras distribuicoes possiveis.
Isto significa que existem 52 por 51 distribuicoes possiveis de duas cartas num baralho de 52 cartas. Ou seja, .

Arranjos e Combinacoes

Durante os nossos diferentes passos, uma nocao de ordem esta presente.
Tirar um As de copas e depois um Rei de copas e diferente de tirar um Rei de copas e depois um As de copas, no entanto e a mesma mao.

O Conceito de Arranjos

Quando se escolhem k elementos de n e a nocao de ordem e importante, obtemos um k-tuplo (uma lista ordenada de k elementos). Este k-tuplo e um k-arranjo.
Escrevemos (le-se "A" "n" "k"): o numero de k-arranjos de n.

Com o nosso As de copas e Rei de copas, temos 2 arranjos para a mesma mao.

O Conceito de Combinacao

Quando se escolhem k elementos de n e a nocao de ordem nao importa, obtemos um conjunto de k elementos. Este conjunto de k elementos e uma k-combinacao.
Escreve-se como (le-se "C" "n" "k") ou (le-se "k" de "n"): o numero de k-combinacoes de n.

Uma mao como As de copas e Rei de copas e uma 2-combinacao.

Segundo Passo: Combinacoes de Duas Cartas de 52

O Caso do No Limit Hold'em

Temos distribuicoes possiveis de 2 cartas de 52.
Ao tirar uma primeira carta e depois uma segunda carta, introduzimos uma nocao de ordem.
Na realidade, o que chamamos "distribuicoes possiveis" sao 2-arranjos. Ou seja, arranjos compostos por dois elementos.

Temos 2652 2-arranjos de 2 cartas de 52 cartas.

Uma 2-combinacao (a mao As de copas e Rei de copas) corresponde a dois 2-arranjos (As de copas / Rei de copas e Rei de copas / As de copas).
Para obter o numero de 2-combinacoes, precisamos de dividir o numero de 2-arranjos por 2.

Obtemos 1326 combinacoes de maos diferentes em NLHE.

O Caso do Pot Limit Omaha

Em PLO, nao recebemos 2 mas sim 4 cartas de 52 cartas!
O objetivo e determinar o numero de combinacoes de maos diferentes em PLO.

Isto equivale a perguntar: quando se tiram 4 cartas de um baralho de poker de 52 cartas, quantas combinacoes existem?

Primeiro passo: Encontrar o numero de arranjos

Existem 6.497.400 arranjos possiveis de 4 cartas de 52.

Segundo passo: Tratar a nocao de ordem

Temos 24 formas diferentes de ordenar 4 elementos. Uma combinacao corresponde a 24 arranjos.

Terceiro passo: Encontrar o numero de combinacoes


Obtemos 49.700 combinacoes de maos diferentes em PLO.

Um Pouco de Matematica

O Conceito de Fatorial

Em matematica, o fatorial de um numero natural k e o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a k. (wikipedia.org)
Escreve-se como: (le-se "k fatorial")






Nota:

Tentemos escrever os nossos arranjos usando fatoriais:

Temos

Tentemos escrever as nossas combinacoes usando fatoriais:

Temos

Gracas a estas formulas, se quisermos encontrar o numero de combinacoes de maos possiveis em NLHE, basta calcular .

Obtemos o mesmo resultado que antes em apenas alguns calculos.
Ufa, caimos de pe!



Pode explicar por que razao tudo isto importa?...

Terceiro Passo: Receber um Par de 10

Queremos saber a probabilidade de receber um par de 10.
Procuramos onde .
O Universo corresponde a todas as maos possiveis de NLHE, que sao 1326 maos diferentes. Portanto, a cardinalidade do nosso Universo e 1326.

Temos onde

Para obter , precisamos de encontrar o numero de combinacoes possiveis para formar um par de 10.
Num baralho, existem quatro 10. Um par de 10 significa ter 2 cartas destas 4, ou o numero de combinacoes de 2 cartas de 4.

Portanto, existem 6 maos que podem formar um par de 10.
Assim temos
A probabilidade de obter um par de 10 e de 0,45%.

Quarto Passo: Receber um Par de 10 ou Melhor

Receber um par de 10 ou melhor significa obter um destes cinco pares:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Vimos que um par de 10 corresponde a 6 maos porque existem 4 cartas de dez no baralho. Como todos os pares sao compostos da mesma forma (2 cartas de 4), cada par corresponde a 6 maos.
No nosso caso, temos:

Obter um par de 10 ou melhor corresponde a 30 maos.

30 combos nao me diz muito...
Sem problema, convertamos para percentagem!

A probabilidade de obter um par de 10 ou melhor e de 2,26%.

E pronto, em apenas alguns passos, respondemos a questao original!

Resumo

• Quando queremos tirar k elementos de n elementos com ordem na distribuicao, obtemos um k-arranjo que e uma lista ordenada de k elementos de n.
• Escrevemos , o numero de k-arranjos de k elementos de n.
• Quando queremos tirar k elementos de n elementos sem ordem na distribuicao, obtemos uma k-combinacao que e uma lista desordenada de k elementos de n.
• Escrevemos , o numero de k-combinacoes de k elementos de n.