¿Cómo Calcular Combinaciones y Probabilidades en Poker?
En matemáticas, la combinatoria, también llamada análisis combinatorio, estudia las configuraciones de colecciones finitas de objetos o combinaciones de conjuntos finitos, y su conteo.
Aunque esto pueda sonar complejo a primera vista, es mucho más simple de lo que parece y es especialmente útil en el análisis de manos de poker. Para explicar los fundamentos de la combinatoria, usaremos una situación muy simple que podrías encontrar en torneos de Texas Hold'em poker en vivo.
Estamos participando en un torneo 6-max en un escenario perfecto:
- piscina
- música
- cartas...
Todo es perfecto, incluyendo la presencia de nada menos que Davidi Kitai. Un jugador talentoso capaz de cualquier cosa, especialmente de ganar nuestras fichas con una facilidad desconcertante si resulta estar sentado a nuestro lado.
Después de más de 3 horas de juego, vamos por buen camino con un stack que supera las 35.000 fichas mientras el stack promedio es de 21.000 fichas. Nuestra mesa se rompe después de una mano final difícil que dañó tanto nuestro stack como nuestra confianza.
Nos quedan 18.325 fichas y nos dirigimos a nuestra nueva mesa. Descubrimos una mesa con solo 3 jugadores y por lo tanto 3 asientos vacíos. Otros dos jugadores llegan para completar esta mesa 6-max, y entre ellos está Davidi.
Todo lo que podemos hacer ahora es esperar no sentarnos al lado de Davidi, lo que sería un verdadero bad beat...
La Situación Inicial
Esto es todo lo que sabemos:
- Una mesa 6-max con 3 jugadores ya sentados
- Los jugadores se sientan aleatoriamente
- Davidi y nosotros debemos tomar nuestros asientos en la mesa
En el resto del artículo, estudiaremos la disposición de los jugadores que completan la mesa.
En teoría de probabilidades, esto se llama un experimento aleatorio.
Un experimento aleatorio es un experimento observable donde el resultado no se puede predecir de antemano, incluso si el experimento se repite en condiciones idénticas.
¿Cuál es la Probabilidad de No Sentarse al Lado de Davidi?
Si estás listo, nuestro objetivo es determinar la probabilidad de no sentarnos al lado del despiadado Davidi.
Listado de Todas las Combinaciones Posibles
Para empezar, determinaremos todas las combinaciones existentes. Con 3 personas para colocar en 3 asientos, ¡nada más simple! Solo necesitamos listarlas todas.
Obtenemos 6 combinaciones posibles para colocar 3 personas en 3 asientos. Al listarlas, acabamos de enumerar todas las combinaciones posibles.
Se pueden contar combinaciones más específicas:
- combinaciones donde estamos sentados al lado de Davidi
- combinaciones donde no estamos sentados al lado de Davidi
De las 6 combinaciones:
- 2 veces, estamos sentados al lado de Davidi
- 4 veces, no estamos sentados al lado de Davidi
Por lo tanto, terminamos al lado de Davidi 2 veces de 6, y 4 veces de 6 no lo estaremos.
En teoría de probabilidades, hablamos de eventos.
Un evento es un conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
En nuestro caso, "sentarse al lado de Davidi" es un evento y "no sentarse al lado de Davidi" es su evento complementario.
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama el Universo y se denota frecuentemente como (se lee Omega).
La probabilidad del evento "sentarse al lado de Davidi" es que se puede simplificar a . de las veces, estaremos sentados al lado de Davidi.
La probabilidad del evento complementario "no sentarse al lado de Davidi" es o . de las veces, no estaremos sentados al lado de Davidi.
Notamos que la probabilidad de "sentarse al lado de Davidi" () más "no sentarse al lado de Davidi" () es igual a . de las veces, estaremos sentados en la mesa (al lado de Davidi o no).
Algunas Notaciones Matemáticas para Simplificar el Trabajo
Para facilitar el análisis posterior, introduciré nuevos conceptos matemáticos: la notación de probabilidad, unión e intersección.
En el resto del artículo, nombraremos los eventos:
- : "sentarse al lado de Davidi"
- : "No sentarse al lado de Davidi"
- : "estar Sentado en la mesa"
La probabilidad de un evento se denota.
La unión de dos eventos se denota:
- "sentarse al lado de Davidi" O "no sentarse al lado de Davidi"
Aquí, podemos ver que la unión de estos dos eventos corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de este experimento.
Los dos eventos no tienen elementos en común y todos los resultados posibles están cubiertos, esto se llama una partición.
Aquí hay 2 nuevos eventos:
- : "Davidi se sienta en uno de los dos asientos de la Derecha de la mesa"
- : "Hero se sienta en uno de los dos asientos de la Derecha de la mesa"
La intersección de dos eventos se denota:
- "Davidi se sienta en uno de los dos asientos de la derecha de la mesa" Y (simultáneamente) "Hero se sienta en uno de los dos asientos de la derecha de la mesa"
Aquí también, podemos ver que la unión de estos dos eventos corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de este experimento.
Sin embargo, los dos eventos tienen elementos en común, lo que llamamos la intersección de estos dos eventos.
Hay dos combinaciones donde Hero y Davidi están ambos ubicados en el lado derecho de la mesa.
La probabilidad de "Davidi se sienta en uno de los dos asientos de la Derecha de la mesa" es
La probabilidad de "Hero se sienta en uno de los dos asientos de la Derecha de la mesa" es
La probabilidad de la intersección es
La probabilidad de "estar sentado en la mesa" es
Por definición, los elementos presentes en la intersección () se encuentran tanto en el evento como en el evento .
y incluyen cada uno la probabilidad debida a los elementos de la intersección .
Por lo tanto, la suma de la probabilidad de estos dos eventos contiene dos veces la probabilidad debida a los elementos de la intersección.
También podemos notar que la unión de los dos eventos y cubre todo el Universo ().
Podemos escribir:
Un evento con probabilidad de 1 se llama un evento seguro.
La unión de un evento y su evento complementario da un evento seguro.
Un evento y su evento complementario no tienen elementos en común y por lo tanto una intersección vacía; se dice que son disjuntos.
En general, para 3 eventos A, B y C, si:
Entonces:
Volvamos a nuestra pregunta básica: ¿Cuál es la probabilidad de no sentarse al lado de Davidi?
- donde D: "sentarse al lado de Davidi"
- donde ND: "No sentarse al lado de Davidi"
- donde A: "estar sentado en la mesa"
Encontrando los Mismos Resultados Matemáticamente
Nuestros tres eventos están vinculados entre sí. Tenemos:
Definitivamente estaremos sentados en la mesa al final del experimento aleatorio.
es un evento seguro, por lo que
Determinando la Cardinalidad del Universo de Nuestro Experimento Aleatorio
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos contenidos en dicho conjunto.
Si , entonces
está compuesto por los elementos , para un total de 5 elementos.
En nuestro ejemplo, los elementos de nuestro Universo son tripletas de la forma (Jugador en asiento 1, en asiento 2, en asiento 3).
Por ejemplo: (Hero, Villain, Davidi) significa:
- Hero en el asiento 1
- Villain en el asiento 2
- Davidi en el asiento 3
Necesitamos determinar el número total de combinaciones posibles al colocar 3 personas en 3 asientos.
El primer paso es colocar a uno de los tres jugadores en un primer asiento.
Cada jugador corresponde a una posibilidad, lo que nos da 3 colocaciones diferentes.
El segundo paso es colocar a uno de los dos jugadores restantes en el segundo asiento.
Para cada una de las 3 posibilidades, hay dos nuevas posibilidades.
Esto nos da un total de 3 x 2 colocaciones diferentes en esta etapa.
El paso final es colocar al jugador restante en el último asiento.
Solo queda una posibilidad.
Esto hace un total de 3 x 2 x 1 = 6 colocaciones diferentes.
Por lo tanto, tenemos 6 colocaciones diferentes donde 3 jugadores se ubican en 3 asientos, lo que equivale a decir: la cardinalidad del Universo de nuestro experimento aleatorio es 6.
Determinando la Cardinalidad de D
Podemos determinar fácilmente las combinaciones donde estamos sentados al lado de Davidi sin enumerar todos los casos posibles.
Por el contrario, es complicado calcular el número de combinaciones donde no estamos al lado de Davidi.
Por esta razón, buscamos calcular la probabilidad de estar al lado de Davidi, y simplemente restaremos esta probabilidad de 1 para obtener la probabilidad de no estar al lado de Davidi.
La Mesa de Partida
Comenzamos separando las 3 personas a colocar en dos grupos:
- Nosotros y Davidi
- El otro Villain
Colocando a Villain
Podemos colocar a Villain en el asiento de la izquierda. La persona en este asiento inevitablemente estará aislada de los otros dos jugadores por colocar. Por lo tanto, no podemos colocar ni a Davidi ni a nosotros ahí.
Calculando las Colocaciones Restantes
Una vez colocado Villain, solo quedan dos asientos adyacentes y Davidi y nosotros para colocar. Como el orden de colocación importa, estamos en el mismo caso que antes y encontramos: 2 x 1 = 2 colocaciones posibles
El evento D corresponde a dos combinaciones, en otras palabras
Determinando la Probabilidad de D
El evento D corresponde a 2 combinaciones de las 6 combinaciones que forman el Universo.
El evento D ocurrirá 2 veces de 6, lo que corresponde a una probabilidad de .
donde y
Determinando la Probabilidad de ND
Ahora que conocemos la probabilidad de , podemos encontrar fácilmente la probabilidad de .
Conclusión
La probabilidad del evento "No sentarse al lado de Davidi" es del 66.66%.
2 veces de 3, no estaremos sentados al lado de Davidi.
Resumen
- El concepto de probabilidad aparece durante un experimento aleatorio.
- Un evento es un conjunto de resultados posibles.
- La cardinalidad de un evento es el número de resultados que lo componen.
Se nota como: - La probabilidad de un evento es la frecuencia con la que el evento ocurrirá.
Se nota como: - Un evento es seguro cuando estamos seguros de que ocurrirá, es decir, tiene una probabilidad de 1 (o 100%).
- El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama el Universo.
- La unión de un evento y su complemento () es equivalente al Universo.
Quiero un Par de 10 o Mejor...
Intentaremos determinar la probabilidad de recibir un par de 10 o mejor en una mano de poker en línea, que es una buena mano inicial y podría potencialmente llevar a un trío en el flop como combinación.
Esta es toda la información que tenemos:
- una baraja consta de 52 cartas
- recibimos 2 cartas de la baraja
- las cartas se reparten aleatoriamente
Algo de formalismo:
- evento TT: recibir un par de 10
- evento TT+: recibir un par de 10 o mejor (es decir: par de 10, Jotas, Damas, Reyes o Ases)
Primer Paso: Sacar Dos Cartas de la Baraja de 52 Cartas
Para empezar, necesitamos calcular el número de combinaciones correspondientes a sacar 2 cartas de las 52 cartas de la baraja.
Para sacar dos cartas, primero debemos sacar una carta y luego una segunda.
Esto puede parecer obvio, pero prefiero especificarlo de todos modos.
Sacar Una Carta de una Baraja de 52 Cartas
Un posible reparto sería sacar el As de corazones, otro reparto sería sacar el 2 de corazones... y así sucesivamente para las 52 cartas de la baraja.
Podemos ver claramente que una carta corresponde a un posible reparto. Al sacar solo una carta de 52 cartas, el número de posibles repartos es 52.
Sacar Una Carta de una Baraja de 51 Cartas
Cuando sacamos la primera carta, no la devolvemos a la baraja.
Al sacar la segunda carta, solo quedan 51 cartas en la baraja. Así que tenemos 51 posibles repartos.
Sacar Dos Cartas de una Baraja de 52 Cartas
Tenemos 52 repartos correspondientes a sacar una primera carta, luego para cada uno de estos repartos, tenemos 51 otros posibles repartos.
Esto significa que hay 52 por 51 posibles repartos de dos cartas en una baraja de 52 cartas. Eso es .
Arreglos y Combinaciones
Durante nuestros diferentes pasos, una noción de orden está presente.
Sacar un As de corazones y luego un Rey de corazones es diferente de sacar un Rey de corazones y luego un As de corazones, sin embargo es la misma mano.
El Concepto de Arreglos
Cuando se eligen k elementos de n y la noción de orden es importante, obtenemos una k-tupla (una lista ordenada de k elementos). Esta k-tupla es un k-arreglo.
Escribimos (se lee "A" "n" "k"): el número de k-arreglos de n.
Con nuestro As de corazones y Rey de corazones, tenemos 2 arreglos para la misma mano.
El Concepto de Combinación
Cuando se eligen k elementos de n y la noción de orden no importa, obtenemos un conjunto de k elementos. Este conjunto de k elementos es una k-combinación.
Se escribe como (se lee "C" "n" "k") o (se lee "k" de "n"): el número de k-combinaciones de n.
Una mano como As de corazones y Rey de corazones es una 2-combinación.
Segundo Paso: Combinaciones de Dos Cartas de 52
El Caso del No Limit Hold'em
Tenemos posibles repartos de 2 cartas de 52.
Al sacar una primera carta, luego una segunda carta, introducimos una noción de orden.
En realidad, lo que llamamos "posibles repartos" son 2-arreglos. Es decir, arreglos compuestos por dos elementos.
Tenemos 2652 2-arreglos de 2 cartas de 52 cartas.
Una 2-combinación (la mano As de corazones y Rey de corazones) corresponde a dos 2-arreglos (As de corazones / Rey de corazones y Rey de corazones / As de corazones).
Para obtener el número de 2-combinaciones, necesitamos dividir el número de 2-arreglos por 2.
Obtenemos 1326 combinaciones de manos diferentes en NLHE.
El Caso del Pot Limit Omaha
En PLO, ¡no recibimos 2 sino 4 cartas de 52 cartas!
El objetivo es determinar el número de combinaciones de manos diferentes en PLO.
Esto equivale a preguntarse: cuando se sacan 4 cartas de una baraja de poker de 52 cartas, ¿cuántas combinaciones existen?
Primer paso: Encontrar el número de arreglos
Hay 6.497.400 arreglos posibles de 4 cartas de 52.
Segundo paso: Manejar la noción de orden
Tenemos 24 formas diferentes de ordenar 4 elementos. Una combinación corresponde a 24 arreglos.
Tercer paso: Encontrar el número de combinaciones
Obtenemos 49.700 combinaciones de manos diferentes en PLO.
Un Poco de Matemáticas
El Concepto de Factorial
En matemáticas, el factorial de un número natural k es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a k. (wikipedia.org)
Se escribe como: (se lee "k factorial")
Nota:
Intentemos escribir nuestros arreglos usando factoriales:
Tenemos
Intentemos escribir nuestras combinaciones usando factoriales:
Tenemos
Gracias a estas fórmulas, si queremos encontrar el número de combinaciones de manos posibles en NLHE, solo necesitamos calcular .
Obtenemos el mismo resultado que antes en solo unos pocos cálculos.
¡Uf, caímos de pie!
¿Puedes explicar por qué todo esto importa?...
Tercer Paso: Recibir un Par de 10
Queremos saber la probabilidad de recibir un par de 10.
Buscamos donde .
El Universo corresponde a todas las manos posibles de NLHE, que son 1326 manos diferentes. Así que la cardinalidad de nuestro Universo es 1326.
Tenemos donde
Para obtener , necesitamos encontrar el número de combinaciones posibles para formar un par de 10.
En una baraja, hay cuatro 10. Un par de 10 significa tener 2 cartas de estas 4, o el número de combinaciones de 2 cartas de 4.
Por lo tanto hay 6 manos que pueden formar un par de 10.
Así que tenemos
La probabilidad de obtener un par de 10 es del 0.45%.
Cuarto Paso: Recibir un Par de 10 o Mejor
Recibir un par de 10 o mejor significa conseguir uno de estos cinco pares:
- TT
- JJ
- KK
- AA
Vimos que un par de 10 corresponde a 6 manos porque hay 4 cartas de diez en la baraja. Como todos los pares están compuestos de la misma manera (2 cartas de 4), cada par corresponde a 6 manos.
En nuestro caso, tenemos:
Obtener un par de 10 o mejor corresponde a 30 manos.
30 combos no me dice mucho...
No hay problema, ¡convirtámoslo a porcentaje!
La probabilidad de obtener un par de 10 o mejor es del 2.26%.
¡Y ahí lo tienes, en solo unos pocos pasos, hemos respondido la pregunta original!
Resumen
- Cuando queremos sacar k elementos de n elementos con orden en el reparto, obtenemos un k-arreglo que es una lista ordenada de k elementos de n.
- Escribimos , el número de k-arreglos de k elementos de n.
- Cuando queremos sacar k elementos de n elementos sin orden en el reparto, obtenemos una k-combinación que es una lista desordenada de k elementos de n.
- Escribimos , el número de k-combinaciones de k elementos de n.
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