Découvre les bases des probabilités pour comprendre le poker

Découvre les bases des probabilités pour comprendre le poker
27/03/2020 • 18 min de lecture
En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.

C'est un peu barbare à la première lecture mais c'est beaucoup plus simple qu'il n'y parait. Pour expliquer les bases de la combinatoire, on va se baser sur une situation très simple que vous pouvez rencontrer au Poker lors de tournois live.

Vous n'avez pas les bases
Vous n'avez pas les bases des probabilités... pour l'instant !

Nous sommes en train de participer à un tournois 6-max dans un cadre parfait :

  • piscine
  • musique
  • cartes...

Tout est au rendez vous, même un certain Davidi Kitai. Un joueur de talent capable de tout et surtout de gagner nos jetons avec une facilité déconcertante s'il se trouve à côté de nous.

Après plus de 3 heures de jeu, nous sommes dans la bonne voie avec un stack qui dépasse les 35 000 jetons alors que le tapis moyen est de 21 000 jetons. Notre table casse après une dernière main difficile qui a mis à mal notre stack et notre confiance.

Il nous reste 18 325 jetons et nous nous dirigeons vers notre nouvelle table. Nous découvrons une table avec seulement 3 joueurs et donc 3 places libres. Deux autres joueurs se présentent pour remplir cette table de 6-max et parmi eux, il y a Davidi !

Il ne nous reste plus qu'à espérer ne pas être à côté de Davidi

La situation de départ

Voici tout ce que nous savons :

  • Une table de 6-max avec 3 joueurs déjà installés
  • Les joueurs sont placés aléatoirement
  • Davidi et nous-même devons nous installer à la table
La table lors de la situation de départ
La table lors de la situation de départ

Dans la suite de l'article, nous allons étudier le placement des joueurs comblant la table.

En probabilités, on parle d'expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire est une expérience observable dont le résultat ne peut pas être prévu à l'avance même si l'expérience est répétée dans des conditions identiques.

Quelle est la probabilité de ne pas s'asseoir à côté de Davidi ?

Si tu l'acceptes, l'objectif est de déterminer la probabilité de ne pas nous asseoir à côté de l'impitoyable Davidi.

Enumérer les différentes combinaisons possibles

Pour commencer, nous déterminons toutes les combinaisons existantes. Avec 3 personnes à placer sur 3 sièges, rien de plus simple ! Il suffit de toutes les énumérer.

Toutes les combinaisons de placements possibles
Toutes les combinaisons de placements possibles

Nous obtenons 6 combinaisons possibles pour placer 3 personnes sur 3 sièges. En les énumérant, nous venons de dénombrer toutes les combinaisons possibles.

Des combinaisons plus précises peuvent être dénombrées :

  • les combinaisons où nous sommes assis à côté de Davidi
  • les combinaisons où nous ne sommes pas assis à côté de Davidi

Sur les 6 combinaisons :

  • 2 fois, nous sommes assis à côté de Davidi
  • 4 fois, nous ne sommes pas assis à côté de Davidi

Nous nous retrouvons donc 2 fois sur 6 à côté de Davidi et 4 fois sur 6 nous ne le serons pas.

En probabilités, on parle d'événements.
Un événement est un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Dans notre cas, "s'asseoir à côté de Davidi" est un événement et "ne pas s'asseoir à côté de Davidi" est son événement contraire.

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'Univers et est souvent noté (qui se lit Oméga)..

La probabilité de l'événément "s'asseoir à côté de Davidi" est de que l'on peut simplifier par . du temps, nous seront assis à côté de Davidi.

La probabilité de l'événement contraire "ne pas s'asseoir à côté de Davidi" est de soit . du temps, nous ne seront pas assis à côté de Davidi.

On remarque que la probabilité de "s'asseoir à côté de Davidi" () ou de "ne pas s'asseoir à côté de Davidi" () est de . du temps, nous seront assis à la table (à côté de Davidi ou pas).

Quelques notations mathématiques pour faciliter le travail

Pour faciliter la suite de la réflexion, je vais introduire de nouvelles notions mathématiques : la notation de la probabilité, l'union et l'intersection.

Dans la suite de l'article, nous nommerons les événements :

  •  : "s'asseoir à côté de Davidi"
  •  : "Ne pas s'asseoir à côté de Davidi"
  •  :"être Assis à la table"

La probabilité d'un événement est noté .

L'union de deux événements est noté :

  • "s'asseoir à côté de Davidi" OU "ne pas s'asseoir à côté de Davidi"
Les 6 combinaisons possibles avec les événements D en rouge et ND en vert
Les 6 combinaisons possibles avec les événements D en rouge et ND en vert

Ici, on voit que l'union de ces deux événements correspond à l'ensemble des résultats possibles de cette expérience.

Les deux événements n'ont aucun élément en commun et tous les résultats possibles sont couverts, on peut parler de partition.

Voici 2 nouveaux événements :

  •  : "Davidi s'assoit sur un des deux sièges à Droite de la table"
  •  : "Hero s'assoit sur un des deux sièges à Droite de la table"

L'intersection de deux événements est noté :

  • "Davidi s'assoit sur un des deux sièges à droite de la table" ET (en même temps) "Hero s'assoit sur un des deux sièges à droite de la table"
En bleu, en jaune
Les 6 combinaisons possibles avec les événements DD en bleu et HD en jaune

Ici encore, on voit que l'union de ces deux événements correspond à l'ensemble des résultats possibles de cette expérience.
Cependant les deux événements ont des éléments en commun, on parle de l'intersection de ces deux événements.
Il y a deux combinaisons où Hero et Davidi se situent à droite de la table.

La probabilité de "Davidi s'assoit sur un des deux sièges à Droite de la table" est
La probabilité de "Hero s'assoit sur un des deux sièges à Droite de la table" est
La probabilité de l'intersection  est
La probabilité de "s'asseoir à la table" est

Par définition, les éléments présents dans l'intersection () se situent dans l'événement et l'événement .
et comprennent chacun la probabilité due aux éléments de l'intersection .
La somme de la probabilité de ces deux événements contient donc deux fois la probabilité due aux éléments de l'intersection.

On peut aussi remarquer que l'union des deux événements et couvrent tout l'Univers ().
On peut écrire :

Un événément ayant une probabilité de 1 est appelé un événement certain.
L'union d'un événement et de son événement contraire donne un événement certain.
Un événement et son événement contraire n'ont aucun élément en commun et donc une intersection vide, on dit qu'ils sont disjoints.

En général pour 3 événements A, B et C, si :

Alors :

Revenons à notre question de base : Quelle est la probabilité de ne pas s'aseoir à côté de Davidi ?

  • avec D : "s'asseoir à côté de Davidi"
  • avec ND : "Ne pas s'asseoir à côté de Davidi"
  • avec A :"être Assis à la table"

Retrouver les mêmes résultats mathématiquement

Nos trois événements sont liés entre eux. On a :

Nous seront forcément assis à la table à l'issue de l'expérience aléatoire.
est un événement certain, donc

Déterminer le cardinal de l'Univers de notre expérience aléatoire

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments contenus dans cet ensemble.
Si , alors
est composé des éléments , soit un total de 5 éléments.

Dans notre exemple, les éléments de notre Univers sont des triplets de la forme (Joueur sur le siège 1, sur le siège 2, sur le siège 3).
Par exemple : (Hero, Villain, Davidi) qui signifie :

  • Hero sur le siège 1
  • Villain sur le siège 2
  • Davidi sur le siège 3

Nous devons déterminer le nombre total de combinaisons possibles lorsque l'on place 3 personnes sur 3 sièges.

La première étape consiste à placer un des trois joueurs sur un premier siège.
Chaque joueur correspond à une possibilité, ce qui nous fait 3 placements différents.

La seconde étape consiste à placer un des deux joueurs restant sur le deuxième siège.
Pour chacune des 3 possibilités, il y a deux nouvelles possibilités.
Ce qui nous fait un total de 3 x 2 placements différents à ce stade.

La dernière étape consiste à placer le joueur restant sur le dernier siège.
Il ne reste plus qu'une seule possibilité.
Ce qui fait un total de 3 x 2 x 1 = 6 placements différents.

Explication du calcul du cardinal de notre Univers
Explication du calcul du cardinal de notre Univers

Nous avons donc 6 placements différents où 3 joueurs sont placés sur 3 sièges, ce qui équivaut à dire : le cardinal de l'Univers de notre expérience aléatoire est 6.

Déterminer le cardinal de D

Nous pouvons facilement déterminer les combinaisons où nous sommes assis à côté de Davidi sans énumérer tous les cas possibles.
À l'inverse, il est compliqué de calculer le nombre de combinaisons où nous ne sommes pas à côté de Davidi.

Pour cette raison, nous cherchons à calculer la probabilité d'être à côté de Davidi et il nous suffira de soustraire cette probabilité à 1 pour obtenir la probabilité de ne pas être à côté de Davidi.

La table de départ

On commence par séparer les 3 personnes à placer en deux groupe :

  • Nous et Davidi
  • L'autre Villain

Placer Villain

Nous pouvons placer Villain sur le siège de gauche. La personne sur ce siège se retrouvant forcément isolée des deux autres joueurs à placer. Nous ne pouvons donc ni y placer Davidi, ni nous-même.

Explication du calcul du cardinal de D
Explication du calcul du cardinal de D

Calculer le nombre de placements restant

Une fois que Villain est placé, il ne reste plus que deux sièges côte à côte et Davidi et nous-même à placer. La notion d'ordre de placement étant présent, nous sommes dans le même cas que précédemment et trouvons : 2 x 1 = 2 placements possibles
L'événement D correspond à deux combinaisons, autrement dit

Déterminer la probabilité de D

L'événement D correspond à 2 combinaisons sur les 6 combinaisons qui composent l'Univers.
L'événement D va se produire 2 fois sur 6 ce qui correspond a une probabilité de .


avec et

Déterminer la probabilité de ND

Maintenant que nous connaissons la probabilité de , nous pouvons facilement trouver la probabilité de .

Conclusion

La probabilité de l'événement "Ne pas s'asseoir à côté de Davidi" est de 66,66%.
2 fois sur 3, nous ne serons pas assis à côté de Davidi.

Résumé

  • La notion de probabilité apparaît lors d'une expérience aléatoire.
  • Un événement est un ensemble de résultats possibles.
  • Le cardinal d'un événement est le nombre de résultats qui le compose.
    Noté :
  • La probabilité d'un événement est la fréquence à laquelle l'événement va avoir lieu.
    Noté :
  • Un événement est certain lorsque nous sommes certain qu'il se produira, c'est à dire qu'il a une probabilité de 1 (ou 100%).
  • L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'Univers.
  • L'union d'un événement et de son contraire ()est équivalent à l'Univers.

La suite...

Dans le prochain article, nous allons essayer de faire des calculs un peu plus concrets et en lien avec les cartes !
L'objectif sera de déterminer la probabilité de se faire servir une paire de 10 ou plus lors d'une main de poker sachant que le paquet est constitué de 52 cartes et que l'on en reçoit 2 aléatoirement.
Pour les acharnés, on ira même jusqu'à déterminer la probabilité de se faire servir une paire de 10 et que personne autour de la table ne se soit fait servir une meilleure paire.

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