Comment calculer le nombre de combinaisons au poker ?

Comment calculer le nombre de combinaisons au poker ?
02/05/2020 • 15 min de lecture

Je voudrais une paire de 10 ou mieux…

Nous allons essayer de déterminer la probabilité de se faire servir une paire de 10 ou plus lors d'une main de poker.

Voici toutes les informations que nous avons :

  • un paquet est composé de 52 cartes
  • nous recevons 2 cartes du paquet
  • les cartes sont distribuées aléatoirement

Un peu de formalisme :

  • l'événement TT : se faire servir une paire de 10
  • l'événement TT+ : se faire servir une paire de 10 ou plus (i.e. : paire de 10, de Valets, de Dames, de Rois ou d'As)

Première étape : tirer deux cartes parmi les 52 cartes du paquet

Pour commencer, nous devons calculer le nombre de combinaisons correspondant au tirage de 2 cartes parmi les 52 cartes du paquets.
Pour tirer deux cartes, il faut d'abord tirer une première carte puis une seconde.
Ça peut paraître évidement mais je préfère quand même le préciser.

Tirage d'une carte dans un paquet de 52 cartes

Un des tirages possibles serait de tirer l'As de coeur, un deuxième tirage serait de tirer le 2 de coeur... et ainsi de suite pour les 52 cartes du paquet.
On se rend bien compte qu'une carte correspond à un tirage possible. En ne tirant qu'une seule carte parmi les 52 cartes, le nombre de tirages possibles est de 52.

Tirage d'une carte dans un paquet de 51 cartes

Lorsque l'on tire la première carte, on ne la remet pas dans le paquet.
Lors du tirage de la seconde carte, il ne reste alors que 51 cartes dans le paquet. On a donc 51 tirages possibles.

Tirage de deux cartes dans un paquet de 52 cartes

Nous avons 52 tirages correspondant à tirer une première carte, puis pour chacun de ces tirages, nous avons 51 autres tirages possibles.
Cela revient à dire qu'il y a 52 fois 51 tirages possibles de deux cartes dans un paquet de 52. Soit .

Arrangements et combinaisons

Lors de nos différentes étapes, une notion d'ordre est présente.
Tirer un As de coeur puis un Roi de coeur est différent de tirer un Roi de coeur puis un As de coeur or il s'agit de la même main.

La notion d'arrangements

Lorsque l'on choisit k éléments parmi n et que la notion d'ordre à de l'importance, on obtient un k-uplet (une liste ordonnée de k éléments). Ce k-uplet est un k-arrangement.
On note (lire «A» «n» «k») : le nombre de k-arrangements parmi n.

Avec notre As de coeur et Roi de coeur, nous avons 2 arrangements pour une même main.

La notion de combinaison

Lorsque l'on choisit k éléments parmi n et que la notion d'ordre n'a pas d'importance, on obtient un ensemble de k éléments. Cet ensemble de k éléments est une k-combinaison.
On note (lire «C» «n» «k») ou (lire «k» parmi «n») : le nombre de k-combinaisons parmi n.

Une main comme As de coeur et Roi de coeur est une 2-combinaison.

Deuxième étape : les combinaisons de deux cartes parmi les 52

Le cas du No Limit Holdem

Nous avons tirages possibles de 2 cartes parmi 52.
En tirant une première carte, puis une seconde carte, on introduit une notion d'ordre.
En réalité, ce que nous appelons "les tirages possibles" sont des 2-arrangements. C'est à dire, des arrangements composés de deux éléments.

Nous avons 2652 2-arrangements de 2 cartes parmi 52 cartes.

Une 2-combinaison (la main As de coeur et Roi de coeur) correspond à deux 2-arrangements (As de coeur / Roi de coeur et Roi de coeur / As de coeur).
Pour obtenir le nombre de 2-combinaisons, il faut diviser le nombre de 2-arrangements par 2.

On obtient 1326 combinaisons de mains différentes au NLHE.

Le cas du Pot Limit Omaha

Dans le cas du PLO, nous ne recevons pas 2 mais 4 cartes parmi 52 cartes !
L'objectif est de déterminer le nombre de combinaisons de mains différentes en PLO.

Première étape : Trouver le nombre d'arrangements

Il y a 6 497 000 arrangements possibles de 4 cartes parmi 52.

Deuxième étape : Gérer la notion d'ordre

Nous avons 24 façons différentes d'ordonner 4 éléments. Une combinaison correspond à 24 arrangements.

Troisième étape : Trouver le nombre de combinaisons


On obtient 49 700 combinaisons de mains différentes en PLO.

Un peu de mathématiques

Le notion de factorielle

En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel k est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à k. (wikipedia.org)
Elle est notée : (lire «k» factorielle)






Attention :

Essayons d'écrire nos arrangements grâce aux factorielles :

On a

Essayons d'écrire nos combinaisons grâce aux factorielles :

On a

Grâce aux formules, si on cherche à retrouver le nombre de combinaisons de mains au NLHE, il nous suffit de calculer .

On retrouve le même résultat qu'auparavant en seulement quelques calculs.
Ouf, on retombe sur nos pieds !



Peux-tu m'expliquer l'intérêt de tout ça ?...



Troisième étape : se faire servir une paire de 10

On veut connaitre la probabilité de se faire servir une paire de 10.
On cherche donc avec .
L'Univers correspond à toutes les mains possibles du NLHE, soit 1326 mains différentes. Le cardinal de notre Univers est donc 1326.

On a avec

Pour obtenir , il faut trouver le nombre de combinaisons possibles pour former une paire de 10.
Dans un paquet, il y a quatre 10. Une paire de 10 revient à avoir 2 cartes parmi ces 4, soit le nombre de combinaisons de 2 cartes parmi 4.

Il y a donc 6 mains pouvant former une paire de 10.
Nous avons donc
La probabilité d'obtenir une paire de 10 est de 0,45%.

Quatrième étape : se faire servir une paire de 10 ou mieux

Se faire servir une paire de 10 ou mieux revient à toucher une de ces cinq paires :

  • TT
  • JJ
  • QQ
  • KK
  • AA

On a vu que la paire de 10 correspond à 6 mains car il y a 4 cartes 10 dans le paquet. Toutes les paires étant composées de la même manière (2 cartes parmi 4), chacune des paires correspond à 6 mains.
Dans notre cas, on a :

Toucher paire de 10 ou plus correspond à 30 mains.

30 combos, tu sais, ça me parle pas beaucoup...
Pas de problème, on va transformer ça en pourcentage !

La probabilité d'obtenir une paire de 10 ou mieux est de 2,26%.

Et voilà, en deux ou trois mouvements, on vient de répondre à la question de départ !

Résumé

  • Lorsque l'on veut tirer k élément parmi n élément avec une notion d'ordre au tirage, on obtient un k-arrangement qui est une liste ordonnée de k éléments par les n.
  • On note , le nombre de k-arrangements de k éléments parmi n.
  • Lorsque l'on veut tirer k élément parmi n élément sans une notion d'ordre au tirage, on obtient une k-combinaison qui est une liste non-ordonnée de k éléments par les n.
  • On note , le nombre de k-combinaisons de k éléments parmi n.

La suite...

Dans le prochaine article, nous allons voir comment déterminer la probabilité de gain d'une main ou d'une range face à une autre main ou une autre range.

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