Cum se Calculează Combinațiile și Probabilitățile la Poker?

În matematică, combinatorica, numită și analiză combinatorică, studiază configurațiile colecțiilor finite de obiecte sau combinațiile mulțimilor finite, și numărarea lor.

Deși acest lucru ar putea suna complex la prima vedere, este mult mai simplu decât pare și este deosebit de util în analiza mâinilor de poker. Pentru a explica bazele combinatoricii, vom folosi o situație foarte simplă pe care o poți întâlni în turneele de poker live Texas Hold'em.

Participăm la un turneu 6-max într-un cadru perfect:

• piscină
• muzică
• cărți...

Totul este perfect, inclusiv prezența nimănui altuia decât Davidi Kitai. Un jucător talentat capabil de orice, mai ales de a ne câștiga chipurile cu o ușurință descumpănitoare dacă se întâmplă să fie așezat lângă noi.

După mai mult de 3 ore de joc, suntem pe drumul cel bun cu un stack care depășește 35.000 de chipuri în timp ce stack-ul mediu este de 21.000 de chipuri. Masa noastră se desface după o mână finală dificilă care ne-a afectat atât stack-ul cât și încrederea.

Ne-au rămas 18.325 de chipuri și ne îndreptăm spre noua noastră masă. Descoperim o masă cu doar 3 jucători și deci 3 locuri libere. Alți doi jucători sosesc pentru a completa această masă 6-max, iar printre ei se află Davidi!

Tot ce putem face acum este să sperăm să nu fim așezați lângă Davidi, ceea ce ar fi un adevărat bad beat...

Situația Inițială

Iată tot ce știm:

• O masă 6-max cu 3 jucători deja așezați
• Jucătorii sunt așezați aleatoriu
• Davidi și noi trebuie să ne luăm locurile la masă

În restul articolului, vom studia aranjarea jucătorilor care completează masa.

În teoria probabilităților, aceasta se numește un experiment aleatoriu.
Un experiment aleatoriu este un experiment observabil în care rezultatul nu poate fi prezis dinainte, chiar dacă experimentul este repetat în condiții identice.

Care Este Probabilitatea de a Nu Fi Așezat Lângă Davidi?

Dacă ești pregătit, obiectivul nostru este de a determina probabilitatea de a nu fi așezat lângă nemilosul Davidi.

Listarea Tuturor Combinațiilor Posibile

Pentru a începe, vom determina toate combinațiile existente. Cu 3 persoane de plasat în 3 locuri, nimic nu ar putea fi mai simplu! Trebuie doar să le listăm pe toate.

Obținem 6 combinații posibile pentru plasarea a 3 persoane în 3 locuri. Listându-le, tocmai am enumerat toate combinațiile posibile.

Combinații mai specifice pot fi numărate:

• combinații în care suntem așezați lângă Davidi
• combinații în care nu suntem așezați lângă Davidi

Din cele 6 combinații:

• de 2 ori, suntem așezați lângă Davidi
• de 4 ori, nu suntem așezați lângă Davidi

Prin urmare, ajungem lângă Davidi de 2 ori din 6, și de 4 ori din 6 nu vom fi.

În teoria probabilităților, vorbim despre evenimente.
Un eveniment este o mulțime de rezultate posibile ale unui experiment aleatoriu.
În cazul nostru, „a sta lângă Davidi" este un eveniment iar „a nu sta lângă Davidi" este evenimentul complementar.

Mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleatoriu se numește Univers și se notează adesea (citit Omega).

Probabilitatea evenimentului „a sta lângă Davidi" este care poate fi simplificată la . din timp, vom fi așezați lângă Davidi.

Probabilitatea evenimentului complementar „a nu sta lângă Davidi" este sau . din timp, nu vom fi așezați lângă Davidi.

Observăm că probabilitatea de „a sta lângă Davidi" () plus „a nu sta lângă Davidi" () este egală cu . din timp, vom fi așezați la masă (lângă Davidi sau nu).

Câteva Notații Matematice pentru a Simplifica Munca

Pentru a facilita analiza ulterioară, voi introduce concepte matematice noi: notația de probabilitate, reuniune și intersecție.

În restul articolului, vom numi evenimentele:

• : „a sta lângă Davidi"
• : „A nu sta lângă Davidi"
• : „a fi Așezat la masă"

Probabilitatea unui eveniment se notează.

Reuniunea a două evenimente se notează:

• „a sta lângă Davidi" SAU „a nu sta lângă Davidi"

Aici, putem vedea că reuniunea acestor două evenimente corespunde mulțimii tuturor rezultatelor posibile ale acestui experiment.

Cele două evenimente nu au elemente în comun și toate rezultatele posibile sunt acoperite, aceasta se numește o partiție.

Iată 2 evenimente noi:

• : „Davidi stă în unul din cele două locuri din Dreapta la masă"
• : „Hero stă în unul din cele două locuri din Dreapta la masă"

Intersecția a două evenimente se notează:

• „Davidi stă în unul din cele două locuri din dreapta la masă" ȘI (simultan) „Hero stă în unul din cele două locuri din dreapta la masă"

Aici din nou, putem vedea că reuniunea acestor două evenimente corespunde mulțimii tuturor rezultatelor posibile ale acestui experiment.
Totuși, cele două evenimente au elemente în comun, pe care le numim intersecția acestor două evenimente.
Există două combinații în care Hero și Davidi sunt amândoi situați în partea dreaptă a mesei.

Probabilitatea lui „Davidi stă în unul din cele două locuri din Dreapta la masă" este
Probabilitatea lui „Hero stă în unul din cele două locuri din Dreapta la masă" este
Probabilitatea intersecției este
Probabilitatea lui „a fi așezat la masă" este

Prin definiție, elementele prezente în intersecție () se regăsesc atât în evenimentul cât și în evenimentul .
și includ fiecare probabilitatea datorată elementelor intersecției .
Prin urmare, suma probabilității acestor două evenimente conține de două ori probabilitatea datorată elementelor intersecției.

Putem, de asemenea, observa că reuniunea celor două evenimente și acoperă întregul Univers ().
Putem scrie:

Un eveniment cu probabilitatea de 1 se numește un eveniment sigur.
Reuniunea unui eveniment și a evenimentului său complementar dă un eveniment sigur.
Un eveniment și evenimentul său complementar nu au elemente în comun și deci o intersecție vidă; se spune că sunt disjuncte.

În general, pentru 3 evenimente A, B și C, dacă:

Atunci:

Să revenim la întrebarea noastră de bază: Care este probabilitatea de a nu sta lângă Davidi?

• unde D: „a sta lângă Davidi"
• unde ND: „A nu sta lângă Davidi"
• unde A: „a fi Așezat la masă"

Găsirea Acelorași Rezultate Matematic

Cele trei evenimente ale noastre sunt legate între ele. Avem:

Vom fi cu siguranță așezați la masă la sfârșitul experimentului aleatoriu.
este un eveniment sigur, deci

Determinarea Cardinalității Universului Experimentului Nostru Aleatoriu

Cardinalitatea unei mulțimi este numărul de elemente conținute în acea mulțime.
Dacă , atunci
este compus din elementele , pentru un total de 5 elemente.

În exemplul nostru, elementele Universului nostru sunt triplete de forma (Jucător în locul 1, în locul 2, în locul 3).
De exemplu: (Hero, Villain, Davidi) înseamnă:

• Hero în locul 1
• Villain în locul 2
• Davidi în locul 3

Trebuie să determinăm numărul total de combinații posibile când plasăm 3 persoane în 3 locuri.

Primul pas este de a plasa unul din cei trei jucători într-un prim loc.
Fiecare jucător corespunde unei posibilități, ceea ce ne dă 3 plasări diferite.

Al doilea pas este de a plasa unul din cei doi jucători rămași în al doilea loc.
Pentru fiecare din cele 3 posibilități, există două posibilități noi.
Aceasta ne dă un total de 3 x 2 plasări diferite în această etapă.

Pasul final este de a plasa jucătorul rămas în ultimul loc.
Mai rămâne doar o singură posibilitate.
Aceasta face un total de 3 x 2 x 1 = 6 plasări diferite.

Avem deci 6 plasări diferite în care 3 jucători sunt plasați în 3 locuri, ceea ce este echivalent cu a spune: cardinalitatea Universului experimentului nostru aleatoriu este 6.

Determinarea Cardinalității lui D

Putem determina cu ușurință combinațiile în care suntem așezați lângă Davidi fără a enumera toate cazurile posibile.
Dimpotrivă, este complicat să calculăm numărul de combinații în care nu suntem lângă Davidi.

Din acest motiv, ne propunem să calculăm probabilitatea de a fi lângă Davidi și vom scădea pur și simplu această probabilitate din 1 pentru a obține probabilitatea de a nu fi lângă Davidi.

Masa de Start

Începem prin separarea celor 3 persoane de plasat în două grupuri:

• Noi și Davidi
• Celălalt Villain

Plasarea lui Villain

Putem plasa Villain în locul din stânga. Persoana din acest loc va fi inevitabil izolată de ceilalți doi jucători de plasat. Prin urmare, nu putem plasa nici pe Davidi nici pe noi acolo.

Calculul Plasărilor Rămase

Odată ce Villain este plasat, mai rămân doar două locuri adiacente și Davidi și noi de plasat. Deoarece ordinea plasării contează, suntem în același caz ca mai înainte și găsim: 2 x 1 = 2 plasări posibile
Evenimentul D corespunde la două combinații, cu alte cuvinte

Determinarea Probabilității lui D

Evenimentul D corespunde la 2 combinații din cele 6 combinații care alcătuiesc Universul.
Evenimentul D se va produce de 2 ori din 6, ceea ce corespunde unei probabilități de .

unde și

Determinarea Probabilității lui ND

Acum că știm probabilitatea lui , putem găsi cu ușurință probabilitatea lui .

Concluzie

Probabilitatea evenimentului „A nu sta lângă Davidi" este de 66,66%.
De 2 ori din 3, nu vom fi așezați lângă Davidi.

Rezumat

• Conceptul de probabilitate apare în timpul unui experiment aleatoriu.
• Un eveniment este o mulțime de rezultate posibile.
• Cardinalitatea unui eveniment este numărul de rezultate care îl compun.
  Notat ca:
• Probabilitatea unui eveniment este frecvența la care evenimentul se va produce.
  Notat ca:
• Un eveniment este sigur când suntem siguri că se va produce, adică are o probabilitate de 1 (sau 100%).
• Mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleatoriu se numește Universul.
• Reuniunea unui eveniment și a complementarului său () este echivalentă cu Universul.

Aș Vrea o Pereche de 10 sau Mai Bine...

Vom încerca să determinăm probabilitatea de a primi o pereche de 10 sau mai bine într-o mână de poker online, care este o mână de start bună și ar putea duce potențial la un set pe flop ca o combinație.

Iată toată informația pe care o avem:

• un pachet constă din 52 de cărți
• primim 2 cărți din pachet
• cărțile sunt împărțite aleatoriu

Puțin formalism:

• evenimentul TT: primirea unei perechi de 10
• evenimentul TT+: primirea unei perechi de 10 sau mai bine (adică: pereche de 10, Valeți, Dame, Regi sau Ași)

Primul Pas: Tragerea a Două Cărți din Pachetul de 52 de Cărți

Pentru a începe, trebuie să calculăm numărul de combinații corespunzătoare tragerii a 2 cărți din cele 52 de cărți din pachet.
Pentru a trage două cărți, trebuie mai întâi să tragem o carte și apoi o a doua.
Acest lucru ar putea părea evident, dar prefer să specific oricum.

Tragerea unei Cărți dintr-un Pachet de 52 de Cărți

O tragere posibilă ar fi extragerea Asului de inimă, o altă tragere ar fi extragerea 2 de inimă... și așa mai departe pentru toate cele 52 de cărți din pachet.
Putem vedea clar că o carte corespunde unei trageri posibile. Când tragem doar o carte din 52 de cărți, numărul de trageri posibile este 52.

Tragerea unei Cărți dintr-un Pachet de 51 de Cărți

Când tragem prima carte, nu o punem înapoi în pachet.
Când tragem a doua carte, mai sunt doar 51 de cărți rămase în pachet. Deci avem 51 de trageri posibile.

Tragerea a Două Cărți dintr-un Pachet de 52 de Cărți

Avem 52 de trageri corespunzătoare tragerii unei prime cărți, apoi pentru fiecare din aceste trageri, avem 51 de alte trageri posibile.
Aceasta înseamnă că sunt 52 ori 51 trageri posibile de două cărți dintr-un pachet de 52 de cărți. Adică .

Aranjamente și Combinații

În timpul diferitelor noastre etape, este prezentă o noțiune de ordine.
Tragerea unui As de inimă apoi a unui Rege de inimă este diferită de tragerea unui Rege de inimă apoi a unui As de inimă, totuși este aceeași mână.

Conceptul de Aranjamente

Când alegem k elemente din n și noțiunea de ordine este importantă, obținem un k-tuplu (o listă ordonată de k elemente). Acest k-tuplu este un k-aranjament.
Scriem (citit „A" „n" „k"): numărul de k-aranjamente din n.

Cu Asul nostru de inimă și Regele de inimă, avem 2 aranjamente pentru aceeași mână.

Conceptul de Combinație

Când alegem k elemente din n și noțiunea de ordine nu contează, obținem o mulțime de k elemente. Această mulțime de k elemente este o k-combinație.
Scrisă ca (citit „C" „n" „k") sau (citit „k" din „n"): numărul de k-combinații din n.

O mână precum Asul de inimă și Regele de inimă este o 2-combinație.

Al Doilea Pas: Combinații de Două Cărți din 52

Cazul No Limit Hold'em

Avem trageri posibile de 2 cărți din 52.
Trăgând o primă carte, apoi o a doua carte, introducem o noțiune de ordine.
În realitate, ceea ce numim „trageri posibile" sunt 2-aranjamente. Adică, aranjamente compuse din două elemente.

Avem 2652 de 2-aranjamente de 2 cărți din 52 de cărți.

O 2-combinație (mâna Asul de inimă și Regele de inimă) corespunde la două 2-aranjamente (Asul de inimă / Regele de inimă și Regele de inimă / Asul de inimă).
Pentru a obține numărul de 2-combinații, trebuie să împărțim numărul de 2-aranjamente la 2.

Obținem 1326 de combinații diferite de mâini în NLHE.

Cazul Pot Limit Omaha

În PLO, nu primim 2 ci 4 cărți din 52 de cărți!
Obiectivul este de a determina numărul de combinații diferite de mâini în PLO.

Aceasta echivalează cu a întreba: când sunt trase 4 cărți dintr-un pachet de poker de 52 de cărți, câte combinații există?

Primul pas: Găsirea numărului de aranjamente

Există 6.497.400 de aranjamente posibile de 4 cărți din 52.

Al doilea pas: Gestionarea noțiunii de ordine

Avem 24 de moduri diferite de a ordona 4 elemente. O combinație corespunde la 24 de aranjamente.

Al treilea pas: Găsirea numărului de combinații


Obținem 49.700 de combinații diferite de mâini în PLO.

Puțină Matematică

Conceptul de Factorial

În matematică, factorialul unui număr natural k este produsul tuturor numerelor întregi pozitive mai mici sau egale cu k. (wikipedia.org)
Se scrie ca: (citit „k factorial")






Notă:

Să încercăm să scriem aranjamentele noastre folosind factoriale:

Avem

Să încercăm să scriem combinațiile noastre folosind factoriale:

Avem

Datorită acestor formule, dacă vrem să găsim numărul de combinații posibile de mâini în NLHE, trebuie doar să calculăm .

Obținem același rezultat ca înainte în doar câteva calcule.
Uf, am aterizat pe picioare!



Poți explica de ce contează toate acestea?...

Al Treilea Pas: Primirea unei Perechi de 10

Vrem să știm probabilitatea de a primi o pereche de 10.
Căutăm unde .
Universul corespunde tuturor mâinilor posibile de NLHE, care sunt 1326 de mâini diferite. Deci cardinalitatea Universului nostru este 1326.

Avem unde

Pentru a obține , trebuie să găsim numărul de combinații posibile pentru a forma o pereche de 10.
Într-un pachet, există patru cărți de 10. O pereche de 10 înseamnă a avea 2 cărți din aceste 4, sau numărul de combinații de 2 cărți din 4.

Prin urmare există 6 mâini care pot forma o pereche de 10.
Deci avem
Probabilitatea de a primi o pereche de 10 este de 0,45%.

Al Patrulea Pas: Primirea unei Perechi de 10 sau Mai Bine

A primi o pereche de 10 sau mai bine înseamnă a lovi una din aceste cinci perechi:

• TT
• JJ
• QQ
• KK
• AA

Am văzut că o pereche de 10 corespunde la 6 mâini deoarece sunt 4 cărți de zece în pachet. Deoarece toate perechile sunt compuse în același mod (2 cărți din 4), fiecare pereche corespunde la 6 mâini.
În cazul nostru, avem:

A primi o pereche de 10 sau mai bine corespunde la 30 de mâini.

30 de combo-uri nu îmi spun mare lucru...
Nicio problemă, să le convertim în procent!

Probabilitatea de a primi o pereche de 10 sau mai bine este de 2,26%.

Și iată, în doar câțiva pași, am răspuns la întrebarea inițială!

Rezumat

• Când vrem să tragem k elemente din n elemente cu ordine în tragere, obținem un k-aranjament care este o listă ordonată de k elemente din n.
• Scriem , numărul de k-aranjamente de k elemente din n.
• Când vrem să tragem k elemente din n elemente fără ordine în tragere, obținem o k-combinație care este o listă neordonată de k elemente din n.
• Scriem , numărul de k-combinații de k elemente din n.